左撇子占总人口的 10%。

从该人口中随机抽取了 60 人样本。

离散随机变量 $Y$ 表示样本中左撇子的人数。

(a) (i) 写出 $P(Y \leqslant 1)$ 精确值的表达式。

(ii) 计算你的表达式，答案保留 3 位有效数字。

(b) 使用泊松近似估计 $P(Y \leqslant 1)$。

(c) 使用正态近似和标准化估计 $P(Y \leqslant 1)$。

(d) 给出泊松近似是 $P(Y \leqslant 1)$ 更合适估计的原因。

（第 3 题共 11 分）

样本量固定为 60，每人是左撇子的概率为 0.1，因此 $Y$ 服从二项分布。“不多于 1 人”包括 $Y=0$ 和 $Y=1$，分别写出两项概率后相加。

The exact distribution is

Therefore,

直接计算 (a)(i) 的精确二项概率表达式，再按要求保留 3 位有效数字。

Evaluating the expression from part (a)(i),

The answer is given to 3 significant figures.

用泊松分布近似二项分布时，均值为 $np=60(0.1)=6$。将 $Y=0$ 和 $Y=1$ 的泊松概率相加。

Using a Poisson approximation,

Hence,

The answer is given to 3 significant figures.

二项分布的均值为 $np=6$，方差为 $np(1-p)=5.4$，所以用 $N(6,5.4)$ 近似。由于原变量离散，“$Y\leq1$”经连续性修正变为正态变量小于 1.5，再标准化计算左尾概率。

For the binomial distribution,

and

Therefore, use the normal approximation $V$, where

Let $Z\sim N(0,1)$. Applying the continuity correction and standardising,

The answer is given to 3 significant figures. Using standard normal tables with $z=-1.94$ gives $0.0262$.

泊松近似适合样本量较大而成功概率较小的二项分布。本题 $n=60$ 较大且 $p=0.1$ 较小，因此泊松近似比正态近似更合适；其估计值也更接近 (a) 的精确值。

The Poisson approximation is more suitable because $n$ is large and $p$ is small.

It also gives $0.0174$, which is closer to the exact value $0.0138$ than the normal estimate $0.0264$.