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IAL 2025 Oct S2 A Q3

A Level / Edexcel / S2

IAL 2025 Oct A Paper · Question 3

题目

Problem

Left-handed people make up 10% of a population.

A random sample of 60 people is taken from this population.

The discrete random variable YY represents the number of left-handed people in the sample.

(a) (i) Write down an expression for the exact value of P(Y⩽1)P(Y \leqslant 1)

(ii) Evaluate your expression, giving your answer to 3 significant figures.

(3)

(b) Using a Poisson approximation, estimate P(Y⩽1)P(Y \leqslant 1)

(2)

(c) Using a normal approximation and standardisation, estimate P(Y⩽1)P(Y \leqslant 1)

(5)

(d) Give a reason why the Poisson approximation is a more suitable estimate of P(Y⩽1)P(Y \leqslant 1)

(1)

(Total for Question 3 is 11 marks)

题目中文翻译

左撇子占总人口的 10%。

从该人口中随机抽取了 60 人样本。

离散随机变量 YY 表示样本中左撇子的人数。

(a) (i) 写出 P(Y⩽1)P(Y \leqslant 1) 精确值的表达式。 (ii) 计算你的表达式，答案保留 3 位有效数字。

(b) 使用泊松近似估计 P(Y⩽1)P(Y \leqslant 1)。

(c) 使用正态近似和标准化估计 P(Y⩽1)P(Y \leqslant 1)。

(d) 给出泊松近似是 P(Y⩽1)P(Y \leqslant 1) 更合适估计的原因。

（第 3 题共 11 分）

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

样本量固定为 60，每人是左撇子的概率为 0.1，因此 YY 服从二项分布。“不多于 1 人”包括 Y=0Y=0 和 Y=1Y=1，分别写出两项概率后相加。

答题过程

展开

The exact distribution is

Y∼B⁡(60,0.1).Y\sim\operatorname{B}(60,0.1).

Therefore,

P(Y≤1)= P(Y=0)+P(Y=1)= (0.9)60+60(0.1)(0.9)59.\begin{align*} P(Y\leq1) =&\,P(Y=0)+P(Y=1)\\ =&\,(0.9)^{60} +60(0.1)(0.9)^{59}. \end{align*}

(a)(ii)

解法一

思路

展开

直接计算 (a)(i) 的精确二项概率表达式，再按要求保留 3 位有效数字。

答题过程

展开

Evaluating the expression from part (a)(i),

P(Y≤1)= (0.9)60+60(0.1)(0.9)59= 0.013777…= 0.0138(3 s.f.).\begin{align*} P(Y\leq1) =&\,(0.9)^{60}+60(0.1)(0.9)^{59}\\ =&\,0.013777\ldots\\ =&\,\boxed{0.0138}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

用泊松分布近似二项分布时，均值为 np=60(0.1)=6np=60(0.1)=6。将 Y=0Y=0 和 Y=1Y=1 的泊松概率相加。

答题过程

展开

Using a Poisson approximation,

Y∼˙Po⁡(6).Y\mathrel{\dot\sim}\operatorname{Po}(6).

Hence,

P(Y≤1)= e−6(1+611!)= 0.017351…≈ 0.0174(3 s.f.).\begin{align*} P(Y\leq1) =&\,\mathrm{e}^{-6} \left(1+\frac{6^1}{1!}\right)\\ =&\,0.017351\ldots\\ \approx&\,\boxed{0.0174}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

二项分布的均值为 np=6np=6，方差为 np(1−p)=5.4np(1-p)=5.4，所以用 N(6,5.4)N(6,5.4) 近似。由于原变量离散，“Y≤1Y\leq1”经连续性修正变为正态变量小于 1.5，再标准化计算左尾概率。

答题过程

展开

For the binomial distribution,

μ=np=60(0.1)=6\mu=np=60(0.1)=6

and

σ2=np(1−p)=60(0.1)(0.9)=5.4.\sigma^2=np(1-p)=60(0.1)(0.9)=5.4.

Therefore, using a normal approximation,

Y∼˙N(6,5.4).Y\mathrel{\dot\sim}N(6,5.4).

Applying the continuity correction and standardising,

P(Y≤1)≈ P(Y<1.5)= P(Z<1.5−65.4)= P(Z<−1.936…)= 0.02640…≈ 0.0264(3 s.f.).\begin{align*} P(Y\leq1) \approx&\,P(Y<1.5)\\ =&\,P\left( Z<\frac{1.5-6}{\sqrt{5.4}} \right)\\ =&\,P(Z<-1.936\ldots)\\ =&\,0.02640\ldots\\ \approx&\,\boxed{0.0264}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

Using standard normal tables with z=−1.94z=-1.94 gives 0.02620.0262, which is also an accepted estimate.

(d)

解法一

思路

展开

泊松近似适合样本量较大而成功概率较小的二项分布。本题 n=60n=60 较大且 p=0.1p=0.1 较小，因此泊松近似比正态近似更合适；其估计值也更接近 (a) 的精确值。

答题过程

展开

The Poisson approximation is more suitable because

n is large and p is small.\boxed{n\text{ is large and }p\text{ is small}}.

It also gives 0.01740.0174, which is closer to the exact value 0.01380.0138 than the normal estimate 0.02640.0264.