函数 $f(x)$ 定义为

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{9}(x+5)(3-x) & 1 \leqslant x \leqslant 4 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

Albert 认为 $f(x)$ 是一个有效的概率密度函数。

(a) 画出 $f(x)$ 的图像并评论 Albert 的信念。

连续随机变量 $Y$ 的概率密度函数为

$g(y) = \begin{cases} ky(12 - y^2) & 1 \leqslant y \leqslant 3 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

其中 $k$ 为正常数。

(b) 使用微积分求 $Y$ 的众数。

(c) 使用代数积分求 $k$ 的值。

(d) 求 $Y$ 的中位数，答案保留 3 位有效数字。

(e) 描述 $Y$ 分布的偏度并给出你的理由。

（第 4 题共 14 分）

先计算支撑区间内的几个关键点：$f(1)=4/3$、$f(3)=0$、$f(4)=-1$。展开式的二次项系数为负，因此图像在 $1\leq x\leq4$ 上是一段开口向下的抛物线；它在 $x=3$ 后落到 $x$ 轴下方。概率密度函数不能取负值，所以 Albert 的判断不成立。

For $1\leq x\leq4$,

The key points are

The required sketch is a decreasing, concave-down curve through these three points.

For $3<x\leq4$,

Therefore, $f$ cannot be a probability density function, since a probability density must be non-negative. Hence,

众数对应概率密度的最大值。先展开 $g(y)$，对其求导并令导数为零；再检查驻点位于支撑区间内，并利用二阶导数确认它给出极大值。

For $1\leq y\leq3$,

Differentiating,

At a stationary point,

As $1\leq y\leq3$, the only possible value is $y=2$. Also,

so $g''(2)<0$ because $k>0$. Therefore, the mode is

概率密度在整个支撑区间上的积分必须等于 1。把 $g(y)=k(12y-y^3)$ 从 1 积分到 3，代入上下限并解出正常数 $k$。

Since $g$ is a probability density function,

Therefore,

Hence,

设中位数为 $m$，则从支撑区间下端点 1 到 $m$ 的累积概率为 $1/2$。代入 (c) 的 $k=1/28$ 后积分，可得到关于 $m^2$ 的二次方程；根据 $1\leq m\leq3$ 舍去不合适的根。

Let the median be $m$. Then

Thus,

Treating this as a quadratic in $m^2$ gives

Since $1\leq m\leq3$, we require $1\leq m^2\leq9$, so $m^2=12-\sqrt{65}$. Hence,

比较 (b) 的众数与 (d) 的中位数。两者近似相等，因此该分布没有偏斜；这正是官方评分资料的主要判断路线。

From parts (b) and (d),

Since the median is approximately equal to the mode, the distribution has

官方评分资料也接受计算均值后与众数比较。先由密度求 $E(Y)$；所得均值约为 $1.986$，与众数 2 近似相等，因此仍判断为没有偏斜。

Using $k=1/28$,

This is approximately equal to the mode, which is $2$. Therefore, the distribution has