题目

Problem

The function $f(x)$ is defined as

\begin{align*} &\,f(x)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{9}(x+5)(3-x)\\[-1mm] &\,\quad 1 \leqslant x \leqslant 4 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad \text{otherwise} \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

Albert believes that $f(x)$ is a valid probability density function.

(a) Sketch $f(x)$ and comment on Albert’s belief.

(3)

The continuous random variable $Y$ has probability density function given by

\begin{align*} &\,g(y)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,ky(12 - y^2)\\[-1mm] &\,\quad 1 \leqslant y \leqslant 3 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad \text{otherwise} \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

where $k$ is a positive constant.

(b) Use calculus to find the mode of $Y$

(3)

(d) Find the median of $Y$ giving your answer to 3 significant figures.

(3)

(e) Describe the skewness of the distribution of $Y$ giving a reason for your answer.

(2)

(Total for Question 4 is 14 marks)

题目中文翻译

函数 $f(x)$ 定义为

\begin{align*} &\,f(x)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{9}(x+5)(3-x)\\[-1mm] &\,\quad 1 \leqslant x \leqslant 4 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad \text{其他情况} \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

Albert 认为 $f(x)$ 是一个有效的概率密度函数。

(a) 画出 $f(x)$ 的图像并评论 Albert 的信念。

(3)

连续随机变量 $Y$ 的概率密度函数为

\begin{align*} &\,g(y)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,ky(12 - y^2)\\[-1mm] &\,\quad 1 \leqslant y \leqslant 3 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad \text{其他情况} \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

其中 $k$ 为正常数。

(b) 使用微积分求 $Y$ 的众数。

(3)

(d) 求 $Y$ 的中位数，答案保留 3 位有效数字。

(3)

(e) 描述 $Y$ 分布的偏度并给出你的理由。

(2)

（第 4 题共 14 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

先计算支撑区间内的几个关键点： $f(1)=4/3$ 、 $f(3)=0$ 、 $f(4)=-1$ 。展开式的二次项系数为负，因此图像在 $1\leq x\leq4$ 上是一段开口向下的抛物线；它在 $x=3$ 后落到 $x$ 轴下方。概率密度函数不能取负值，所以 Albert 的判断不成立。

答题过程

展开

For $1\leq x\leq4$ ,

\begin{align*} &\,f(x)=\frac19(x+5)(3-x)\\ &\,=\frac19(-x^2-2x+15). \end{align*}

The key points are

\begin{align*} &\,f(1)=\frac43,\\ &\,f(3)=0,\\ &\,f(4)=-1. \end{align*}

The required sketch is a decreasing, concave-down curve through these three points.

For $3<x\leq4$ ,

f(x)<0.

Therefore, $f$ cannot be a probability density function, since a probability density must be non-negative. Hence,

Albert’s belief is incorrect.

(b)

解法一

思路

展开

众数对应概率密度的最大值。先展开 $g(y)$ ，对其求导并令导数为零；再检查驻点位于支撑区间内，并利用二阶导数确认它给出极大值。

答题过程

展开

For $1\leq y\leq3$ ,

g(y)=k(12y-y^3).

Differentiating,

g'(y)=k(12-3y^2).

At a stationary point,

\begin{align*} k(12-3y^2)=&\,0\\ y^2=&\,4. \end{align*}

As $1\leq y\leq3$ , the only possible value is $y=2$ . Also,

g''(y)=-6ky,

so $g''(2)<0$ because $k>0$ . Therefore, the mode is

\boxed{2}.

(c)

解法一

思路

展开

概率密度在整个支撑区间上的积分必须等于 1。把 $g(y)=k(12y-y^3)$ 从 1 积分到 3，代入上下限并解出正常数 $k$ 。

答题过程

展开

Since $g$ is a probability density function,

\int_1^3 k(12y-y^3)\,\mathrm{d}y=1.

Therefore,

\begin{align*} k\left[6y^2-\frac{y^4}{4}\right]_1^3=&\,1\\ k\left(54-\frac{81}{4}-6+\frac14\right)=&\,1\\ 28k=&\,1. \end{align*}

Hence,

\boxed{k=\frac1{28}}.

(d)

解法一

思路

展开

设中位数为 $m$ ，则从支撑区间下端点 1 到 $m$ 的累积概率为 $1/2$ 。代入 (c) 的 $k=1/28$ 后积分，可得到关于 $m^2$ 的二次方程；根据 $1\leq m\leq3$ 舍去不合适的根。

答题过程

展开

Let the median be $m$ . Then

\int_1^m\frac1{28}(12y-y^3)\,\mathrm{d}y =\frac12.

Thus,

\begin{align*} \frac1{28} \left[6y^2-\frac{y^4}{4}\right]_1^m =&\,\frac12\\ \frac1{28} \left(6m^2-\frac{m^4}{4}-\frac{23}{4}\right) =&\,\frac12\\ m^4-24m^2+79=&\,0. \end{align*}

Treating this as a quadratic in $m^2$ gives

m^2=12\pm\sqrt{65}.

Since $1\leq m\leq3$ , we require $1\leq m^2\leq9$ , so $m^2=12-\sqrt{65}$ . Hence,

\begin{align*} m=&\,\sqrt{12-\sqrt{65}}\\ =&\,1.98437\ldots\\ \approx&\,\boxed{1.98}. \end{align*}

The answer is given to 3 significant figures.

解法二

思路

展开

也可以先对密度求不定积分，再利用支撑区间下端点的 $F(1)=0$ 确定积分常数。这样得到 CDF 后，令 $F(m)=1/2$ ，即可求中位数。仍需按支撑范围筛选根。

答题过程

展开

Using $k=1/28$ , for $1\leq y\leq3$ ,

\begin{align*} &\,F(y)=\int\frac1{28}(12y-y^3)\,\mathrm{d}y\\ &\,=\frac1{28}\Big(6y^2-\frac{y^4}{4}\Big)+C. \end{align*}

Since $F(1)=0$ ,

\begin{align*} &\,\frac1{28}\Big(6-\frac14\Big)+C=0\\ &\,\frac{23}{112}+C=0\\ &\,C=-\frac{23}{112}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,F(y)=\frac1{28}\Big(6y^2-\frac{y^4}{4}\Big)\\ &\,\hspace{2pt}-\frac{23}{112}. \end{align*}

The median satisfies $F(m)=1/2$ , so

\begin{align*} &\,\frac1{28}\Big(6m^2-\frac{m^4}{4}\Big)\\ &\,\hspace{2pt}-\frac{23}{112}=\frac12\\ &\,24m^2-m^4-23=56\\ &\,m^4-24m^2+79=0\\ &\,m^2=12\pm\sqrt{65}. \end{align*}

Since $1\leq m\leq3$ , the positive-sign value of $m^2$ is rejected. Taking the non-negative square root,

\begin{align*} &\,m=\sqrt{12-\sqrt{65}}\\ &\,=1.984374\ldots\\ &\,\approx\boxed{1.98}. \end{align*}

The answer is given to 3 significant figures.

(e)

解法一

思路

展开

比较 (b) 的众数与 (d) 的中位数。两者近似相等，因此该分布没有偏斜。

答题过程

展开

From parts (b) and (d),

\begin{align*} &\,\text{mode}=2,\\ &\,\text{median}\approx1.98. \end{align*}

Since the median is approximately equal to the mode, the distribution has

\boxed{\text{no skew}}.

解法二

思路

展开

也可以计算均值后与众数比较。先由密度求 $E(Y)$ ；所得均值约为 $1.986$ ，与众数 2 近似相等，因此仍判断为没有偏斜。

答题过程

展开

Using $k=1/28$ ,

\begin{align*} &\,E(Y)\\ &\,=\frac1{28}\int_1^3 y(12y-y^3)\,\mathrm{d}y\\ &\,=\frac1{28} \left[4y^3-\frac{y^5}{5}\right]_1^3\\ &\,=\frac1{28}\Big(108-\frac{243}{5}\\ &\,\hspace{2pt}-4+\frac15\Big)\\ &\,=\frac{139}{70}\\ &\,=1.98571\ldots. \end{align*}

This is approximately equal to the mode, which is $2$ . Therefore, the distribution has

\boxed{\text{no skew}}.

S2 2025 Oct A Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程