汽车以每 5 分钟 3 辆的随机速率停在服务站。

(a) 计算在随机选择的 10 分钟内

(i) 恰好有 7 辆汽车停在服务站的概率，

(ii) 超过 7 辆汽车停在服务站的概率。

使用正态近似，在随机选择的 $n$ 分钟内超过 40 辆汽车停在服务站的概率为 0.2266（精确到 4 位有效数字）。

(b) 求 $n$ 的值。你必须展示所有计算步骤。

（第 5 题共 13 分）

10 分钟内的平均车辆数为 $2\times3=6$，所以车辆数服从均值为 6 的泊松分布。把 $X=7$ 代入泊松分布的单点概率公式。

Let $X$ be the number of cars stopping in a 10-minute period. Then

Therefore,

The answer is given to 3 significant figures.

也可以使用泊松累积分布表。用 $P(X\leq7)-P(X\leq6)$ 隔离出 $X=7$ 的单点概率。

Using cumulative Poisson probabilities,

“超过 7 辆”表示 $X>7$。使用补事件，把所求概率写成 $1-P(X\leq7)$，再查泊松累积分布。

Using $X\sim\operatorname{Po}(6)$,

令 $\lambda$ 为 $n$ 分钟内的平均车辆数，则 $\lambda=(3/5)n=0.6n$。泊松分布用均值和方差均为 $\lambda$ 的正态分布近似；“超过 40”经连续性修正成为 $Y>40.5$。由上尾概率 0.2266 得标准正态值 $0.75$，建立关于 $\sqrt{\lambda}$ 的二次方程并求出 $n$。

Let $Y$ be the number of cars stopping in an $n$-minute period, and let its Poisson mean be $\lambda$. Since the rate is $3$ cars per $5$ minutes,

Use the normal approximation $V$, where

Applying the continuity correction,

Let $Z\sim N(0,1)$. The standard normal tables give

Using this table value,

Hence,

Let $t=\sqrt{\lambda}$, where $t>0$. Then

Since $t>0$, the root $t=-6.75$ is rejected. Therefore $t=6$, so

Finally,