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IAL 2025 Oct S2 A Q7

A Level / Edexcel / S2

IAL 2025 Oct A Paper · Question 7

题目

Problem

The continuous random variable XX is uniformly distributed over the interval [a,b][a, b]

(a) Find an expression, in terms of aa and bb, for E(3−2X)E(3 - 2X)

(2)

(b) Find P(X>13b+23a)P\left(X > \dfrac{1}{3}b + \dfrac{2}{3}a\right)

(2)

Given that E(X)=0E(X) = 0

(c) find an expression, in terms of bb only, for E(3X2)E(3X^2)

(3)

Given also that the range of XX is 18

(d) find Var(X)\text{Var}(X)

(2)

(Total for Question 7 is 9 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 XX 在区间 [a,b][a, b] 上均匀分布。

(a) 用 aa 和 bb 表示 E(3−2X)E(3 - 2X) 的表达式。

(b) 求 P(X>13b+23a)P\left(X > \dfrac{1}{3}b + \dfrac{2}{3}a\right)。

已知 E(X)=0E(X) = 0

(c) 仅用 bb 表示 E(3X2)E(3X^2) 的表达式。

又已知 XX 的极差为 18

(d) 求 Var(X)\text{Var}(X)。

（第 7 题共 9 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

利用期望的线性性质，把常数项保留，并将 E(X)E(X) 乘以系数 −2-2。均匀分布 operatornameU(a,b)operatorname{U}(a,b) 的均值为 (a+b)/2(a+b)/2，代入后化简即可。

答题过程

展开

Since X∼U⁡(a,b)X\sim\operatorname{U}(a,b),

E(X)=a+b2.E(X)=\frac{a+b}{2}.

Therefore,

E(3−2X)= 3−2E(X)= 3−2(a+b2)= 3−a−b.\begin{align*} E(3-2X) =&\,3-2E(X)\\ =&\,3-2\left(\frac{a+b}{2}\right)\\ =&\,\boxed{3-a-b}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

均匀分布落在某个子区间内的概率等于该子区间长度占总区间长度的比例。先从上端点 bb 减去给定界点，再除以 b−ab-a。

答题过程

展开

For a uniform distribution,

P(X>13b+23a)= b−(13b+23a)b−a= 23(b−a)b−a= 23.\begin{align*} P\left(X>\frac13b+\frac23a\right) =&\,\frac{b-\left(\frac13b+\frac23a\right)}{b-a}\\ =&\,\frac{\frac23(b-a)}{b-a}\\ =&\,\boxed{\frac23}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

由 E(X)=0E(X)=0 先得到区间关于原点对称，即 a=−ba=-b。此时可用均匀分布的方差公式，并利用均值为零时 E(X2)=Var⁡(X)E(X^2)=\operatorname{Var}(X)，最后乘以 3。

答题过程

展开

Since

E(X)=a+b2=0,E(X)=\frac{a+b}{2}=0,

we have a=−ba=-b. Also,

Var⁡(X)=(b−a)212.\operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}.

As E(X)=0E(X)=0,

E(X2)=Var⁡(X).E(X^2)=\operatorname{Var}(X).

Therefore,

E(3X2)= 3E(X2)= 3((b−(−b))212)= 3(4b212)= b2.\begin{align*} E(3X^2) =&\,3E(X^2)\\ =&\,3\left(\frac{(b-(-b))^2}{12}\right)\\ =&\,3\left(\frac{4b^2}{12}\right)\\ =&\,\boxed{b^2}. \end{align*}

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受直接按连续均匀分布的密度积分。由 a=−ba=-b，密度为 1/(2b)1/(2b)；将 3x23x^2 乘以密度，在 [−b,b][-b,b] 上积分。

答题过程

展开

Since a=−ba=-b, the density of XX on [−b,b][-b,b] is 1/(2b)1/(2b). Hence,

E(3X2)= ∫−bb3x22b dx= 12b[x3]−bb= b3−(−b)32b= b2.\begin{align*} E(3X^2) =&\,\int_{-b}^{b}\frac{3x^2}{2b}\,\mathrm{d}x\\ =&\,\frac{1}{2b}\left[x^3\right]_{-b}^{b}\\ =&\,\frac{b^3-(-b)^3}{2b}\\ =&\,\boxed{b^2}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

均匀分布的极差就是区间长度 b−ab-a。把已知极差 18 代入方差公式 (b−a)2/12(b-a)^2/12，即可直接求值。

答题过程

展开

The range is

b−a=18.b-a=18.

Therefore,

Var⁡(X)= (b−a)212= 18212= 27.\begin{align*} \operatorname{Var}(X) =&\,\frac{(b-a)^2}{12}\\ =&\,\frac{18^2}{12}\\ =&\,\boxed{27}. \end{align*}