一位超市经理记录了 50 天内超市每天收到的投诉数量 $x$。结果汇总如下。

经理认为超市每天收到的投诉数量可以用泊松分布建模。

(a) 说明上述结果如何支持经理的信念。

经理使用均值为 2 的泊松分布来建模每天收到的投诉数量。

(b) 对于随机选择的一天，使用经理的模型求以下情况的概率

(i) 至少收到 4 次投诉，

(ii) 收到超过 2 次但少于 7 次投诉。

一个工作周由连续 5 天组成。

在随机选择的一个工作周内，超市收到了 17 次投诉。

(c) 在 5% 的显著性水平下，检验是否有显著证据表明每天收到的投诉平均数大于 2 次。清楚地陈述你的假设。

（第 2 题共 12 分）

泊松分布的重要性质是均值与方差相等。利用 50 天的数据分别计算样本均值和方差；若两者非常接近，就说明泊松模型与数据相容。

The mean number of complaints is

The variance is

Since the mean and variance are very similar, the results support the manager’s belief that a Poisson distribution is suitable.

按经理的模型，每天投诉数 $X$ 服从均值为 $2$ 的泊松分布。“至少 4 次”使用补事件写成 $1-P(X\leq3)$。

Let $X\sim\operatorname{Po}(2)$. Then

“超过 2 次但少于 7 次”对应整数范围 $3\leq X\leq6$。用两个累积概率之差 $P(X\leq6)-P(X\leq2)$ 计算。

Using $X\sim\operatorname{Po}(2)$,

令 $\lambda$ 表示每天的平均投诉数。题目检验是否大于 $2$，因此是右尾检验。五天内的总投诉数在原假设下服从均值 $5\times2=10$ 的泊松分布；计算观察到 17 次或更多的概率并与 $0.05$ 比较。

Let $\lambda$ be the mean number of complaints per day. The hypotheses are

Let $Y$ be the total number of complaints in a five-day working week. Under $H_0$,

For the observed value $Y=17$,

Since $0.027041\ldots<0.05$, $H_0$ is rejected. There is sufficient evidence at the $5\%$ significance level to suggest that the mean number of complaints is greater than 2 per day.

也可确定右尾临界区域。寻找使上尾概率不超过 $0.05$ 的最小整数边界：$Y\geq16$ 合格，而扩展到 $Y\geq15$ 就超过显著性水平。观察值 17 位于临界区域内。

Under $H_0$, $Y\sim\operatorname{Po}(10)$. The adjacent upper-tail probabilities are

and

Therefore, the critical region is

Since the observed value $17$ is in the critical region, $H_0$ is rejected. There is sufficient evidence that the mean number of complaints is greater than 2 per day.