(a) 解释你对统计量的抽样分布的理解。

一个袋子中只装有大量 £1 硬币和大量 £2 硬币。

从袋子中随机抽取 3 枚硬币。

(b) 列出可能被选中的 3 枚硬币的所有可能组合。

从袋子中选中 £1 硬币的概率为 $p$，选中 £2 硬币的概率为 $q$。

令 $\bar{X}$ 表示所选 3 枚硬币的平均值。

$\bar{X}$ 的抽样分布如下所示。

其中 $a$、$b$、$c$ 和 $d$ 为常数。

(c) 写出 $a$ 的值。

(d) 求 $b$ 的值、$c$ 的值和 $d$ 的值。

令 $M$ 表示所选 3 枚硬币的众数值。

(e) 求 $M$ 的抽样分布。

（第 3 题共 13 分）

抽样分布描述的是：从总体中取出所有可能的同样大小的样本时，某一统计量可能取得哪些值，以及每个值对应的概率。

The sampling distribution of a statistic is the probability distribution of that statistic over all possible samples of a fixed size from the population.

只考虑硬币面值的组合而不区分抽取次序。三枚硬币中 £2 硬币的枚数可以是 $0,1,2,3$，因此共有四种组合。

The possible combinations are

The two mixed combinations each have three possible orders.

$a$ 对应一枚 £1 硬币和两枚 £2 硬币的平均面值，因此把三个面值相加后除以 $3$。

For the combination $(1,2,2)$,

平均值为 $1$ 只可能来自三枚 £1 硬币，所以由已知概率先求 $p$，再由 $p+q=1$ 求 $q$。之后用二项形式分别计算一枚、两枚和三枚 £2 硬币的概率。

Since $P(\bar X=1)=27/125$,

Hence,

For a mean of $4/3$, two £1 coins and one £2 coin are required, so

For a mean of $5/3$, one £1 coin and two £2 coins are required, so

Finally,

三枚硬币的样本量为奇数，因此众数一定是出现至少两次的面值。$M=1$ 对应三枚或两枚 £1 硬币；$M=2$ 对应两枚或三枚 £2 硬币。把 (d) 中相应组合的概率合并。

The modal value is 1 for the combinations $(1,1,1)$ and $(1,1,2)$. Thus,

The modal value is 2 for the combinations $(1,2,2)$ and $(2,2,2)$. Thus,

Therefore, the sampling distribution of $M$ is