题目

Problem

The continuous random variable $X$ has cumulative distribution function $F(x)$ given by

\begin{align*} &\,F(x)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad x < 1 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{24}(x - 1)^2\\[-1mm] &\,\quad 1 \leqslant x \leqslant 3 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{6}(x - 2)\\[-1mm] &\,\quad 3 < x \leqslant 6 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,-k(x^2 - 20x + 52)\\[-1mm] &\,\quad 6 < x \leqslant 10 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,1\\[-1mm] &\,\quad x > 10 \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

where $k$ is a positive constant.

(a) Show that $k = \dfrac{1}{48}$

(2)

(b) Write down the value of $P(X = 4)$

(1)

\begin{align*} &\,P(2.5<X<4.5)\\ &\,\hspace{2pt}+P(5.5<X<8.5) \end{align*}

(3)

The probability density function of $X$ is given by

\begin{align*} &\,f(x)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,r(x)\\[-1mm] &\,\quad 1 \leqslant x \leqslant 3 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{6}\\[-1mm] &\,\quad 3 < x \leqslant 6 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,s(x)\\[-1mm] &\,\quad 6 < x \leqslant 10 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad \text{otherwise} \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

(d) Find $r(x)$ and $s(x)$

(3)

(Total for Question 4 is 9 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 $X$ 的累积分布函数 $F(x)$ 为

\begin{align*} &\,F(x)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad x < 1 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{24}(x - 1)^2\\[-1mm] &\,\quad 1 \leqslant x \leqslant 3 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{6}(x - 2)\\[-1mm] &\,\quad 3 < x \leqslant 6 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,-k(x^2 - 20x + 52)\\[-1mm] &\,\quad 6 < x \leqslant 10 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,1\\[-1mm] &\,\quad x > 10 \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

其中 $k$ 为正常数。

(a) 证明 $k = \dfrac{1}{48}$

(2)

(b) 写出 $P(X = 4)$ 的值。

(1)

\begin{align*} &\,P(2.5<X<4.5)\\ &\,\hspace{2pt}+P(5.5<X<8.5) \end{align*}

(3)

$X$ 的概率密度函数为

\begin{align*} &\,f(x)=\\ &\,\begin{cases} \begin{aligned} &\,r(x)\\[-1mm] &\,\quad 1 \leqslant x \leqslant 3 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,\dfrac{1}{6}\\[-1mm] &\,\quad 3 < x \leqslant 6 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,s(x)\\[-1mm] &\,\quad 6 < x \leqslant 10 \end{aligned}\\[3mm] \begin{aligned} &\,0\\[-1mm] &\,\quad \text{其他情况} \end{aligned} \end{cases} \end{align*}

(d) 求 $r(x)$ 和 $s(x)$ 。

(3)

（第 4 题共 9 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

CDF 在支撑区间右端必须达到 $1$ 。把 $x=10$ 代入包含 $k$ 的分段并令 $F(10)=1$ ，即可自然推出题目要求的结果。

答题过程

展开

Since $F(10)=1$ ,

\begin{align*} &\,-k(10^2-20\times10+52)\\ &\,=1\\ &\,-k(-48)=1\\ &\,48k=1\\ &\,k=\frac1{48}, \end{align*}

as required.

解法二

思路

展开

CDF 在分段点 $x=6$ 必须连续。先由左侧分段求 $F(6)=2/3$ ，再令含 $k$ 的右侧分段在 $x=6$ 处也等于 $2/3$ 。

答题过程

展开

From the interval $3<x\leq6$ ,

F(6)=\frac16(6-2)=\frac23.

Continuity at $x=6$ gives

\begin{align*} &\,-k(6^2-20\times6+52)\\ &\,=\frac23\\ &\,32k=\frac23\\ &\,k=\frac1{48}, \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

展开

$X$ 是连续随机变量，因此它恰好等于任何指定单点值的概率都为零。

答题过程

展开

Since $X$ is continuous,

\boxed{P(X=4)=0}.

(c)

解法一

思路

展开

每个区间概率都等于其上下端点的 CDF 之差。四个端点落在不同分段内，所以逐一选用正确公式，并使用 (a) 的 $k=1/48$ ，最后将两段概率相加。

答题过程

展开

For the first interval,

\begin{align*} &\,P(2.5<X<4.5)\\ &\,=F(4.5)-F(2.5)\\ &\,=\frac16(4.5-2)\\ &\,\hspace{2pt}-\frac1{24}(2.5-1)^2\\ &\,=\frac5{12}-\frac3{32}\\ &\,=\frac{31}{96}. \end{align*}

For the second interval,

\begin{align*} &\,P(5.5<X<8.5)\\ &\,=F(8.5)-F(5.5)\\ &\,=-\frac1{48}\big(8.5^2\\ &\,\hspace{2pt}-20\times8.5+52\big)\\ &\,\hspace{4pt}-\frac16(5.5-2)\\ &\,=\frac{61}{64}-\frac7{12}\\ &\,=\frac{71}{192}. \end{align*}

Therefore, the required value is

\frac{31}{96}+\frac{71}{192} =\boxed{\frac{133}{192}}.

(d)

解法一

思路

展开

概率密度函数是 CDF 的导数。分别对 $1\leq x\leq3$ 和 $6<x\leq10$ 的分段求导，并代入 $k=1/48$ 。

答题过程

展开

For $1\leq x\leq3$ ,

\begin{align*} r(x) =&\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[\frac1{24}(x-1)^2\right]\\ =&\,\boxed{\frac1{12}(x-1)}. \end{align*}

For $6<x\leq10$ ,

\begin{align*} &\,s(x)\\ &\,=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigg[-\frac1{48}(x^2\\ &\,\hspace{2pt}-20x+52)\bigg]\\ &\,=-\frac1{48}(2x-20)\\ &\,=\boxed{\frac1{24}(10-x)}. \end{align*}

S2 2025 Oct Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程