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IAL 2025 Oct S2 Q4

A Level / Edexcel / S2

IAL 2025 Oct Paper · Question 4

题目

Problem

The continuous random variable XX has cumulative distribution function F(x)F(x) given by

F(x)={0x<1124(x−1)21⩽x⩽316(x−2)3<x⩽6−k(x2−20x+52)6<x⩽101x>10F(x) = \begin{cases} 0 & x < 1 \\ \dfrac{1}{24}(x - 1)^2 & 1 \leqslant x \leqslant 3 \\ \dfrac{1}{6}(x - 2) & 3 < x \leqslant 6 \\ -k(x^2 - 20x + 52) & 6 < x \leqslant 10 \\ 1 & x > 10 \end{cases}

where kk is a positive constant.

(a) Show that k=148k = \dfrac{1}{48}

(2)

(b) Write down the value of P(X=4)P(X = 4)

(1)

(c) Find the value of P(2.5<X<4.5)+P(5.5<X<8.5)P(2.5 < X < 4.5) + P(5.5 < X < 8.5)

(3)

The probability density function of XX is given by

f(x)={r(x)1⩽x⩽3163<x⩽6s(x)6<x⩽100otherwisef(x) = \begin{cases} r(x) & 1 \leqslant x \leqslant 3 \\ \dfrac{1}{6} & 3 < x \leqslant 6 \\ s(x) & 6 < x \leqslant 10 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

(d) Find r(x)r(x) and s(x)s(x)

(3)

(Total for Question 4 is 9 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 XX 的累积分布函数 F(x)F(x) 为

F(x)={0x<1124(x−1)21⩽x⩽316(x−2)3<x⩽6−k(x2−20x+52)6<x⩽101x>10F(x) = \begin{cases} 0 & x < 1 \\ \dfrac{1}{24}(x - 1)^2 & 1 \leqslant x \leqslant 3 \\ \dfrac{1}{6}(x - 2) & 3 < x \leqslant 6 \\ -k(x^2 - 20x + 52) & 6 < x \leqslant 10 \\ 1 & x > 10 \end{cases}

其中 kk 为正常数。

(a) 证明 k=148k = \dfrac{1}{48}

(b) 写出 P(X=4)P(X = 4) 的值。

(c) 求 P(2.5<X<4.5)+P(5.5<X<8.5)P(2.5 < X < 4.5) + P(5.5 < X < 8.5) 的值。

XX 的概率密度函数为

f(x)={r(x)1⩽x⩽3163<x⩽6s(x)6<x⩽100otherwisef(x) = \begin{cases} r(x) & 1 \leqslant x \leqslant 3 \\ \dfrac{1}{6} & 3 < x \leqslant 6 \\ s(x) & 6 < x \leqslant 10 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

(d) 求 r(x)r(x) 和 s(x)s(x)。

（第 4 题共 9 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

CDF 在支撑区间右端必须达到 11。把 x=10x=10 代入包含 kk 的分段并令 F(10)=1F(10)=1，即可自然推出题目要求的结果。

答题过程

展开

Since F(10)=1F(10)=1,

−k(102−20×10+52)= 1−k(−48)= 148k= 1k= 148,\begin{align*} -k(10^2-20\times10+52)=&\,1\\ -k(-48)=&\,1\\ 48k=&\,1\\ k=&\,\frac1{48}, \end{align*}

as required.

解法二

思路

展开

CDF 在分段点 x=6x=6 必须连续。先由左侧分段求 F(6)=2/3F(6)=2/3，再令含 kk 的右侧分段在 x=6x=6 处也等于 2/32/3。

答题过程

展开

From the interval 3<x≤63<x\leq6,

F(6)=16(6−2)=23.F(6)=\frac16(6-2)=\frac23.

Continuity at x=6x=6 gives

−k(62−20×6+52)= 2332k= 23k= 148,\begin{align*} -k(6^2-20\times6+52)=&\,\frac23\\ 32k=&\,\frac23\\ k=&\,\frac1{48}, \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

展开

XX 是连续随机变量，因此它恰好等于任何指定单点值的概率都为零。

答题过程

展开

Since XX is continuous,

P(X=4)=0.\boxed{P(X=4)=0}.

(c)

解法一

思路

展开

每个区间概率都等于其上下端点的 CDF 之差。四个端点落在不同分段内，所以逐一选用正确公式，并使用 (a) 的 k=1/48k=1/48，最后将两段概率相加。

答题过程

展开

For the first interval,

P(2.5<X<4.5)= F(4.5)−F(2.5)= 16(4.5−2)−124(2.5−1)2= 512−332= 3196.\begin{align*} P(2.5<X<4.5) =&\,F(4.5)-F(2.5)\\ =&\,\frac16(4.5-2) -\frac1{24}(2.5-1)^2\\ =&\,\frac5{12}-\frac3{32}\\ =&\,\frac{31}{96}. \end{align*}

For the second interval,

P(5.5<X<8.5)= F(8.5)−F(5.5)= −148(8.52−20×8.5+52) −16(5.5−2)= 6164−712= 71192.\begin{align*} P(5.5<X<8.5) =&\,F(8.5)-F(5.5)\\ =&\,-\frac1{48} (8.5^2-20\times8.5+52)\\ &\,\hspace{2pt}-\frac16(5.5-2)\\ =&\,\frac{61}{64}-\frac7{12}\\ =&\,\frac{71}{192}. \end{align*}

Therefore, the required value is

3196+71192=133192.\frac{31}{96}+\frac{71}{192} =\boxed{\frac{133}{192}}.

(d)

解法一

思路

展开

概率密度函数是 CDF 的导数。分别对 1≤x≤31\leq x\leq3 和 6<x≤106<x\leq10 的分段求导，并代入 k=1/48k=1/48。

答题过程

展开

For 1≤x≤31\leq x\leq3,

r(x)= ddx[124(x−1)2]= 112(x−1).\begin{align*} r(x) =&\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[\frac1{24}(x-1)^2\right]\\ =&\,\boxed{\frac1{12}(x-1)}. \end{align*}

For 6<x≤106<x\leq10,

s(x)= ddx[−148(x2−20x+52)]= −148(2x−20)= 124(10−x).\begin{align*} s(x) =&\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[-\frac1{48}(x^2-20x+52)\right]\\ =&\,-\frac1{48}(2x-20)\\ =&\,\boxed{\frac1{24}(10-x)}. \end{align*}