已知某个郁金香品种以 0.25 的概率开出黄色花朵。

随机购买了 15 株该品种的郁金香。

(a) 求超过 4 株郁金香开出黄色花朵的概率。

(b) 求需要购买的最少郁金香数量，使得至少 1 株开出黄色花朵的概率超过 0.95。

又随机购买了 100 株该品种的郁金香。

(c) 使用适当的近似方法求在这 100 株郁金香中，超过 21 株但不超过 30 株开出黄色花朵的概率。清楚地展示你的计算过程。

对于该品种，认为郁金香开出红色花朵的概率为 0.3。

随机购买了 25 株该品种的郁金香。当这些郁金香开花时，其中 10 株开出了红色花朵。

(d) 使用此 25 株郁金香的随机样本来检验该品种开出红色花朵的概率是否大于 0.3。使用 10% 的显著性水平并清楚地陈述你的假设。

（第 5 题共 15 分）

令 $X$ 表示 15 株中开黄花的株数，则 $X\sim B(15,0.25)$。“超过 4 株”是 $X\geq5$，使用补事件 $1-P(X\leq4)$ 计算。

Let $X$ be the number of tulips producing yellow flowers. Then

Hence,

设购买 $n$ 株。“至少 1 株开黄花”的补事件是全部不开黄花，其概率为 $0.75^n$。建立严格不等式后取对数；由于 $\log 0.75<0$，除以它时不等号方向必须反转。

We require

Taking logarithms, and noting that $\log(0.75)<0$,

Therefore, the least possible integer is

官方评分资料也接受检验相邻整数。分别计算购买 10 株和 11 株时至少 1 株开黄花的概率，即可确认满足条件的最小整数。

For $n=10$,

For $n=11$,

Hence, the least number of tulips required is

黄花株数服从 $B(100,0.25)$。因为 $np=25$、$n(1-p)=75$ 都足够大，可用均值 $25$、方差 $18.75$ 的正态分布近似。整数范围 $22\leq X\leq30$ 经连续性修正后变为 $21.5<Y<30.5$。

Let $X\sim\operatorname{B}(100,0.25)$. Using a normal approximation,

Applying a continuity correction,

The standardised lower and upper boundaries are

and

Therefore,

令 $p$ 表示开红花的概率。题目检验它是否大于 $0.3$，所以是右尾检验。在原假设下红花株数服从 $B(25,0.3)$；计算观察值 10 或更多的上尾概率，并与显著性水平 $0.10$ 比较。

Let $p$ be the probability that a tulip produces red flowers. The hypotheses are

Under $H_0$, let

For the observed value $R=10$,

Since $0.1894>0.10$, $H_0$ is not rejected. There is insufficient evidence at the $10\%$ significance level to suggest that the probability of a tulip producing red flowers is greater than $0.3$.

也可找出右尾检验的临界区域。$R\geq11$ 的概率不超过 $0.10$，而把边界扩展到 $R\geq10$ 后会超过 $0.10$，所以观察值 10 不在临界区域。

Under $H_0$,

whereas

Thus the critical region is

The observed value $R=10$ is not in the critical region, so $H_0$ is not rejected. There is insufficient evidence that the probability of producing red flowers is greater than $0.3$.