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IAL 2025 Oct S2 Q6

A Level / Edexcel / S2

IAL 2025 Oct Paper · Question 6

题目

Problem

A rectangle PQRS has a fixed perimeter of 40 cm.

The continuous random variable XX cm represents the length of side PQ and is uniformly distributed over the interval [0,20][0, 20]

The continuous random variable AA cm2^2 represents the area of PQRS.

(a) Find the value of E(A)E(A)

(6)

(b) Find the probability that the area of PQRS is more than 5 times the area of a square whose side has length XX cm.

(4)

(Total for Question 6 is 10 marks)

题目中文翻译

矩形 PQRS 的周长固定为 40 cm。

连续随机变量 XX cm 表示边 PQ 的长度，在区间 [0,20][0, 20] 上均匀分布。

连续随机变量 AA cm2^2 表示 PQRS 的面积。

(a) 求 E(A)E(A) 的值。

(b) 求矩形 PQRS 的面积大于边长为 XX cm 的正方形面积的 5 倍的概率。

（第 6 题共 10 分）

解答

(a)

解法一

思路

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矩形周长为 4040，一边长为 XX，所以另一边长为 20−X20-X，面积为 A=X(20−X)A=X(20-X)。先用均匀分布公式求 E(X)E(X) 和 Var⁡(X)\operatorname{Var}(X)，进而得到 E(X2)E(X^2)，再利用期望的线性性质计算 E(A)E(A)。

答题过程

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Since the perimeter is 4040 cm, the adjacent side has length 20−X20-X cm. Hence,

A=X(20−X)=20X−X2.A=X(20-X)=20X-X^2.

For X∼U⁡(0,20)X\sim\operatorname{U}(0,20),

E(X)=10E(X)=10

and

Var⁡(X)=(20−0)212=1003.\operatorname{Var}(X)=\frac{(20-0)^2}{12} =\frac{100}{3}.

Therefore,

E(X2)= Var⁡(X)+[E(X)]2= 1003+100= 4003.\begin{align*} E(X^2) =&\,\operatorname{Var}(X)+[E(X)]^2\\ =&\,\frac{100}{3}+100\\ =&\,\frac{400}{3}. \end{align*}

It follows that

E(A)= 20E(X)−E(X2)= 20(10)−4003= 2003 cm2.\begin{align*} E(A) =&\,20E(X)-E(X^2)\\ =&\,20(10)-\frac{400}{3}\\ =&\,\boxed{\frac{200}{3}\text{ cm}^2}. \end{align*}

解法二

思路

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也可直接使用 XX 在 [0,20][0,20] 上的密度 1/201/20，把面积函数 20x−x220x-x^2 乘以密度后积分。这条路线不需要先计算二阶矩。

答题过程

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Using the density of XX,

E(A)= 120∫020(20x−x2) dx= 120[10x2−x33]020= 120(4000−80003)= 2003 cm2.\begin{align*} E(A) =&\,\frac1{20}\int_0^{20}(20x-x^2)\,\mathrm{d}x\\ =&\,\frac1{20} \left[10x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^{20}\\ =&\,\frac1{20} \left(4000-\frac{8000}{3}\right)\\ =&\,\boxed{\frac{200}{3}\text{ cm}^2}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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边长为 XX 的正方形面积是 X2X^2。将矩形面积 20X−X220X-X^2 与 5X25X^2 比较，解出 XX 的范围；再利用 XX 在 [0,20][0,20] 上均匀分布，以区间长度之比求概率。

答题过程

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The required condition is

20X−X2> 5X220X> 6X2X(20−6X)> 0.\begin{align*} 20X-X^2>&\,5X^2\\ 20X>&\,6X^2\\ X(20-6X)>&\,0. \end{align*}

Since 0≤X≤200\leq X\leq20, this inequality holds when

0<X<103.0<X<\frac{10}{3}.

Therefore,

P(A>5X2)= P(0<X<103)= 10/320= 16.\begin{align*} P(A>5X^2) =&\,P\left(0<X<\frac{10}{3}\right)\\ =&\,\frac{10/3}{20}\\ =&\,\boxed{\frac16}. \end{align*}