一家商店出售标称长度为 200 cm 的杆。这些杆从制造商处购买，制造商使用机器切割长度为 $L$ cm 的杆，其中 $L \sim N\big(\mu, \, 0.2^2\big)$。

$\mu$ 的值使得从供应给商店的杆中随机选取一根，其长度小于 200 cm 的概率仅为 5%。

(a) 求 $\mu$ 的值，保留一位小数。

一位顾客随机购买了 8 根这样的杆。

(b) 求其中至少有 3 根杆长度小于 200 cm 的概率。

另一位顾客随机购买了 60 根这样的杆。

(c) 使用适当的近似方法，求其中超过 5 根杆长度小于 200 cm 的概率。

（第 1 题共 9 分）

长度小于 $200$ cm 的概率是 $0.05$，对应标准正态分布的下侧 $5\%$ 分位数 $-1.6449$。将 $L$ 标准化后建立方程，求出总体均值 $\mu$。

Let $Z\sim\operatorname{N}(0,1)$. Since $P(L<200)=0.05$,

Using $-1.6449$ as an approximation to the lower $5\%$ standard normal quantile,

Therefore,

The answer is given to one decimal place.

每根随机抽取的杆长度小于 $200$ cm 的概率为 $0.05$。令 $X$ 表示 8 根中长度小于 $200$ cm 的根数，则 $X$ 服从二项分布。用补事件把“至少 3 根”改写为 $1-P(X\leq2)$。

Let $X$ be the number of rods, out of 8, whose lengths are less than $200$ cm. Then

Hence,

60 根中长度小于 $200$ cm 的根数原本服从 $B(60,0.05)$。由于样本量较大而成功概率较小，可用参数 $np=3$ 的泊松分布近似；“超过 5 根”就是至少 6 根，使用补事件计算。

Let $Y$ be the number of rods, out of 60, whose lengths are less than $200$ cm. Since

use the approximation

where $60\times0.05=3$.

Therefore,