题目

Problem

The random variable $X \sim B(10, \, p)$

(a) (i) Write down an expression for $P(X = 3)$ in terms of $p$

(ii) Find the value of $p$ such that $P(X = 3)$ is 16 times the value of $P(X = 7)$

(4)

The random variable $Y \sim \text{Po}(\lambda)$

(b) Find the value of $\lambda$ such that $P(Y = 3)$ is 5 times the value of $P(Y = 5)$

(3)

The random variable $W \sim B(n, \, 0.4)$

(c) Find the value of $n$ and the value of $\alpha$ such that $W$ can be approximated by the normal distribution, $N(32, \, \alpha)$

(3)

(Total for Question 2 is 10 marks)

题目中文翻译

随机变量 $X \sim B(10, \, p)$

(a) (i) 写出 $P(X = 3)$ 关于 $p$ 的表达式

(ii) 求 $p$ 的值，使得 $P(X = 3)$ 是 $P(X = 7)$ 的 16 倍

(4)

随机变量 $Y \sim \text{Po}(\lambda)$

(b) 求 $\lambda$ 的值，使得 $P(Y = 3)$ 是 $P(Y = 5)$ 的 5 倍

(3)

随机变量 $W \sim B(n, \, 0.4)$

(3)

（第 2 题共 10 分）

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

直接使用二项分布的单点概率公式

\begin{align*} &\,P(X=r)\\[4mm] =&\,\binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}, \end{align*}

其中 $n=10$ 、 $r=3$ 。

答题过程

展开

Since $X\sim\operatorname{B}(10,p)$ ,

\begin{align*} &\,P(X=3)\\[4mm] =&\,\binom{10}{3}p^3(1-p)^7\\ =&\,\boxed{120p^3(1-p)^7}. \end{align*}

(a)(ii)

解法一

思路

展开

根据题意， $P(X=3)$ 是 $P(X=7)$ 的 $16$ 倍。两个二项式系数相等；约去共同因子后得到四次方关系。由于 $0<p<1$ ，两边均为正，可直接取正四次方根。

答题过程

展开

Using the given probability ratio,

\begin{align*} &\,\binom{10}{3}p^3(1-p)^7\\[4mm] =&\,16\binom{10}{7}p^7(1-p)^3. \end{align*}

Since $\binom{10}{3}=\binom{10}{7}$ and $0<p<1$ ,

\begin{align*} (1-p)^4=&\,16p^4\\ 1-p=&\,2p\\ 3p=&\,1. \end{align*}

Hence,

\boxed{p=\frac13}.

(b)

解法一

思路

展开

将泊松分布的单点概率公式分别用于 $Y=3$ 和 $Y=5$ ，再根据五倍关系建立方程。消去共同的 $e^{-\lambda}$ 和 $\lambda^3$ 后求出正参数 $\lambda$ 。

答题过程

展开

Since $Y\sim\operatorname{Po}(\lambda)$ ,

\frac{e^{-\lambda}\lambda^3}{3!} =5\Big(\frac{e^{-\lambda}\lambda^5}{5!}\Big).

Therefore,

\begin{align*} \frac{\lambda^3}{6}=&\,\frac{\lambda^5}{24}\\ 4\lambda^3=&\,\lambda^5\\ \lambda^2=&\,4. \end{align*}

As a Poisson parameter is positive,

\boxed{\lambda=2}.

(c)

解法一

思路

展开

二项分布 $W\sim B(n,0.4)$ 的均值为 $np$ ，方差为 $np(1-p)$ 。正态近似中的第一个参数 $32$ 是均值，第二个参数 $\alpha$ 是方差；先由均值求 $n$ ，再计算方差。

答题过程

展开

Matching the means gives

\begin{align*} np=&\,32\\ 0.4n=&\,32\\ n=&\,80. \end{align*}

The variance of $W$ is

\begin{align*} np(1-p) =&\,80(0.4)(0.6)\\ =&\,19.2. \end{align*}

Thus,

\boxed{n=80,\qquad \alpha=19.2}.

S2 2026 Jan A Q2

题目

解答

(a)(i)

解法一

思路

答题过程

(a)(ii)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程