随机变量 $X \sim B(10, \, p)$

(a) (i) 写出 $P(X = 3)$ 关于 $p$ 的表达式

(ii) 求 $p$ 的值，使得 $P(X = 3)$ 是 $P(X = 7)$ 的 16 倍

随机变量 $Y \sim \text{Po}(\lambda)$

(b) 求 $\lambda$ 的值，使得 $P(Y = 3)$ 是 $P(Y = 5)$ 的 5 倍

随机变量 $W \sim B(n, \, 0.4)$

(c) 求 $n$ 的值和 $\alpha$ 的值，使得 $W$ 可以用正态分布 $N(32, \, \alpha)$ 近似

（第 2 题共 10 分）

直接使用二项分布的单点概率公式 $P(X=r)=\binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$，其中 $n=10$、$r=3$。

Since $X\sim\operatorname{B}(10,p)$,

根据题意建立 $P(X=3)=16P(X=7)$。两个二项式系数相等；约去共同因子后得到四次方关系。由于 $0<p<1$，两边均为正，可直接取正四次方根。

Using $P(X=3)=16P(X=7)$,

Since $\binom{10}{3}=\binom{10}{7}$ and $0<p<1$,

Hence,

将泊松分布的单点概率公式分别用于 $Y=3$ 和 $Y=5$，再根据五倍关系建立方程。消去共同的 $e^{-\lambda}$ 和 $\lambda^3$ 后求出正参数 $\lambda$。

Since $Y\sim\operatorname{Po}(\lambda)$,

Therefore,

As a Poisson parameter is positive,

二项分布 $W\sim B(n,0.4)$ 的均值为 $np$，方差为 $np(1-p)$。正态近似中的第一个参数 $32$ 是均值，第二个参数 $\alpha$ 是方差；先由均值求 $n$，再计算方差。

Matching the means gives

The variance of $W$ is

Thus,