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IAL 2026 Jan S2 A Q3

A Level / Edexcel / S2

IAL 2026 Jan A Paper · Question 3

题目

Problem

The continuous random variable XX has cumulative distribution function given by

F(x)={0x<016x(x+1)0⩽x⩽21x>2F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \dfrac{1}{6}x(x+1) & 0 \leqslant x \leqslant 2 \\ 1 & x > 2 \end{cases}

(a) Find the value of aa such that P(X>a)=0.4P(X > a) = 0.4

Give your answer to 3 significant figures.

(3)

(b) Use calculus to find

(i) E(X)E(X)

(ii) Var(X)\text{Var}(X)

(Solutions relying on calculator technology are not acceptable.)

(8)

(Total for Question 3 is 11 marks)

题目中文翻译

连续随机变量 XX 的累积分布函数为

F(x)={0x<016x(x+1)0⩽x⩽21x>2F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \dfrac{1}{6}x(x+1) & 0 \leqslant x \leqslant 2 \\ 1 & x > 2 \end{cases}

(a) 求 aa 的值，使得 P(X>a)=0.4P(X > a) = 0.4

答案保留 3 位有效数字。

(b) 使用微积分求

(i) E(X)E(X)

(ii) Var(X)\text{Var}(X)

（不接受依赖计算器技术的解法。）

（第 3 题共 11 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

由 P(X>a)=0.4P(X>a)=0.4 可得 P(X≤a)=0.6P(X\leq a)=0.6，也就是 F(a)=0.6F(a)=0.6。把 CDF 在 0≤a≤20\leq a\leq2 上的表达式代入，解所得二次方程，并舍去不在随机变量取值范围内的根。

答题过程

展开

Since P(X>a)=0.4P(X>a)=0.4,

F(a)=1−0.4=0.6.F(a)=1-0.4=0.6.

Therefore,

16a(a+1)= 0.6a2+a−3.6= 0.\begin{align*} \frac16a(a+1)=&\,0.6\\ a^2+a-3.6=&\,0. \end{align*}

Using the quadratic formula,

a= −1±1+14.42= −1±15.42.\begin{align*} a=&\,\frac{-1\pm\sqrt{1+14.4}}{2}\\ =&\,\frac{-1\pm\sqrt{15.4}}{2}. \end{align*}

The negative root is outside the support 0≤X≤20\leq X\leq2, so

a=1.462…=1.46(3 s.f.).a=1.462\ldots=\boxed{1.46}\quad\text{(3 s.f.)}.

(b)(i)

解法一

思路

展开

先对 CDF 在支撑区间内求导，得到概率密度函数 f(x)f(x)。再使用连续随机变量期望公式 E(X)=∫xf(x) dxE(X)=\int xf(x)\,\mathrm{d}x，并在 00 到 22 上积分。

答题过程

展开

For 0<x<20<x<2, the probability density function is

f(x)=ddxF(x)= ddx(x2+x6)= x3+16.\begin{align*} f(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x) =&\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\frac{x^2+x}{6}\right)\\ =&\,\frac{x}{3}+\frac16. \end{align*}

Hence,

E(X)= ∫02x(x3+16) dx= [x39+x212]02= 89+13= 119.\begin{align*} E(X) =&\,\int_0^2x\left(\frac{x}{3}+\frac16\right) \,\mathrm{d}x\\ =&\,\left[\frac{x^3}{9}+\frac{x^2}{12}\right]_0^2\\ =&\,\frac89+\frac13\\ =&\,\boxed{\frac{11}{9}}. \end{align*}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

先用同一密度函数计算 E(X2)E(X^2)，然后代入 Var⁡(X)=E(X2)−[E(X)]2\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。保留分数运算可以得到精确结果。

答题过程

展开

First,

E(X2)= ∫02x2(x3+16) dx= [x412+x318]02= 43+49= 169.\begin{align*} E(X^2) =&\,\int_0^2x^2 \left(\frac{x}{3}+\frac16\right)\,\mathrm{d}x\\ =&\,\left[\frac{x^4}{12}+\frac{x^3}{18}\right]_0^2\\ =&\,\frac43+\frac49\\ =&\,\frac{16}{9}. \end{align*}

Therefore,

Var⁡(X)= E(X2)−[E(X)]2= 169−(119)2= 144−12181= 2381.\begin{align*} \operatorname{Var}(X) =&\,E(X^2)-[E(X)]^2\\ =&\,\frac{16}{9}-\left(\frac{11}{9}\right)^2\\ =&\,\frac{144-121}{81}\\ =&\,\boxed{\frac{23}{81}}. \end{align*}