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IAL 2026 Jan S2 A Q5

A Level / Edexcel / S2

IAL 2026 Jan A Paper · Question 5

题目

Problem

A string of length 40 cm is cut into 2 pieces at a random point.

The continuous random variable LL represents the length of the longer piece of string.

(a) Write down the distribution of LL

(2)

(b) Find the probability that the length of the longer piece of string is 28 cm to the nearest cm.

(2)

Each piece of string is used to form the perimeter of a square.

(c) Calculate the probability that the area of the larger square is less than 64 cm264 \text{ cm}^2

(3)

(d) Calculate the probability that the difference in area between the two squares is greater than 81 cm281 \text{ cm}^2

(4)

(Total for Question 5 is 11 marks)

题目中文翻译

一根长度为 40 cm 的绳子在随机点处被剪成 2 段。

连续随机变量 LL 表示较长那段绳子的长度。

(a) 写出 LL 的分布。

(b) 求较长那段绳子的长度为 28 cm（四舍五入到最近的 cm）的概率。

每段绳子被用来围成一个正方形的周长。

(c) 计算较大正方形面积小于 64 cm264 \text{ cm}^2 的概率。

(d) 计算两个正方形面积之差大于 81 cm281 \text{ cm}^2 的概率。

（第 5 题共 11 分）

解答

(a)

解法一

思路

展开

设切点到绳子一端的距离为 XX，则 XX 在 00 到 4040 之间均匀分布。较长一段的长度至少为 2020，至多为 4040；对这个区间内任意等长的小区间，切点都有两个对称的位置与之对应，因此 LL 仍服从均匀分布。

答题过程

展开

The longer piece has a minimum possible length of 2020 cm and a maximum possible length of 4040 cm. Hence,

L∼U⁡(20,40).\boxed{L\sim\operatorname{U}(20,40)}.

(b)

解法一

思路

展开

长度四舍五入到最近的厘米后为 2828，对应原长度落在 27.527.5 到 28.528.5 之间。利用 (a) 中均匀分布的区间长度之比求概率。

答题过程

展开

For the length to be 2828 cm to the nearest centimetre,

27.5≤L<28.5.27.5\leq L<28.5.

Therefore,

P(27.5≤L<28.5)= 28.5−27.540−20= 0.05.\begin{align*} P(27.5\leq L<28.5) =&\,\frac{28.5-27.5}{40-20}\\ =&\,\boxed{0.05}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

较长绳段长为 LL，围成的较大正方形边长为 L/4L/4，面积为 (L/4)2(L/4)^2。先把面积条件化为 LL 的范围，再用均匀分布求概率。

答题过程

展开

The side length of the larger square is L/4L/4. Thus,

(L4)2<64  ⟹  L4<8  ⟹  L<32.\begin{align*} \left(\frac{L}{4}\right)^2<64 &\implies \frac{L}{4}<8\\ &\implies L<32. \end{align*}

Since 20≤L≤4020\leq L\leq40,

P(area of larger square<64)= P(L<32)= 32−2040−20= 0.6.\begin{align*} P\left(\text{area of larger square}<64\right) =&\,P(L<32)\\ =&\,\frac{32-20}{40-20}\\ =&\,\boxed{0.6}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

两段绳长分别为 LL 和 40−L40-L，所以两个正方形的边长分别为 L/4L/4 和 (40−L)/4(40-L)/4。由于 LL 是较长一段，直接用较大面积减去较小面积，把不等式化简为关于 LL 的条件。

答题过程

展开

The difference between the areas of the two squares is

(L4)2−(40−L4)2= L2−(40−L)216= 5L−100.\begin{align*} \left(\frac{L}{4}\right)^2 -\left(\frac{40-L}{4}\right)^2 =&\,\frac{L^2-(40-L)^2}{16}\\ =&\,5L-100. \end{align*}

Therefore,

5L−100>81  ⟹  5L>181  ⟹  L>36.2.\begin{align*} 5L-100>81 &\implies 5L>181\\ &\implies L>36.2. \end{align*}

Hence,

P(difference in areas>81)= P(L>36.2)= 40−36.240−20= 0.19.\begin{align*} P\left(\text{difference in areas}>81\right) =&\,P(L>36.2)\\ =&\,\frac{40-36.2}{40-20}\\ =&\,\boxed{0.19}. \end{align*}