连续随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 为

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{20}x^3 & 0 \leqslant x \leqslant 2 \\[6pt] \dfrac{1}{10}(6 - x) & 2 < x \leqslant 6 \\[6pt] 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

(a) 画出 $f(x)$ 对所有 $x$ 值的图像。

(b) 写出 $X$ 的众数。

(c) 证明 $P(X > 2) = 0.8$。

(d) 完整定义累积分布函数 $F(x)$。

已知 $P(X < a \mid X > 2) = \dfrac{5}{8}$

(e) 求 $F(a)$ 的值。

(f) 由此或其他方法，求 $a$ 的值。答案保留 3 位有效数字。

（第 6 题共 15 分）

在 $0\leq x\leq2$ 上，图像是从原点上升的三次曲线，并到达 $(2,0.4)$；在 $2<x\leq6$ 上，图像是从 $(2,0.4)$ 下降到 $(6,0)$ 的直线。其余位置的密度为零。

For $0\leq x\leq2$, the graph is the increasing cubic

from $(0,0)$ to $(2,0.4)$. For $2<x\leq6$, it is the straight line

from $(2,0.4)$ to $(6,0)$. Also, $f(x)=0$ outside $[0,6]$.

众数是概率密度达到最大值的位置。图像在 $x=2$ 处达到高度 $0.4$，两侧都从该点向下，因此众数为 $2$。

The maximum value of the probability density occurs at $x=2$. Therefore,

$X>2$ 对应密度图像右侧的三角形区域。可直接积分，也可用三角形面积；为了与后续 CDF 的积分形式一致，这里写出定积分。

Using the second part of the density function,

as required.

CDF 定义为从负无穷累积到 $x$ 的概率。依密度函数的分段点 $0,2,6$ 分成四段：中间两段分别积分；在支撑集左侧为 $0$，右侧为 $1$。

For $0\leq x\leq2$,

In particular, $F(2)=\frac{16}{80}=0.2$. For $2<x\leq6$,

Therefore, the cumulative distribution function is

条件 $X>2$ 已知其概率为 $0.8$。事件 $2<X<a$ 的概率是 $F(a)-F(2)$，所以把条件概率写成分式，并使用 (d) 中的 $F(2)=0.2$ 求 $F(a)$。

Since $P(X>2)=0.8$ and $F(2)=0.2$,

Therefore,

Hence,

由 (e) 得 $F(a)=0.7$，且条件事件说明 $a$ 位于 $2$ 与 $6$ 之间，因此使用 CDF 的第三段。解平方方程时，$6-a>0$，所以只取正平方根。

Since $2<a<6$, use the third part of the cumulative distribution function:

Thus,

because $6-a>0$. Therefore,