连续随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 为

(a) 画出 $f(x)$ 对所有 $x$ 值的图像。

(b) 写出 $X$ 的众数。

(c) 证明 $P(X > 2) = 0.8$。

(d) 完整定义累积分布函数 $F(x)$。

已知

(e) 求 $F(a)$ 的值。

(f) 由此或其他方法，求 $a$ 的值。答案保留 3 位有效数字。

（第 6 题共 15 分）

在 $0\leq x\leq2$ 上，图像是从原点上升的三次曲线，并到达 $(2,0.4)$；在 $2<x\leq6$ 上，图像是从 $(2,0.4)$ 下降到 $(6,0)$ 的直线。其余位置的密度为零。

For $0\leq x\leq2$, the graph is the increasing cubic

from $(0,0)$ to $(2,0.4)$. For $2<x\leq6$, it is the straight line

from $(2,0.4)$ to $(6,0)$. Also, $f(x)=0$ outside $[0,6]$.

众数是概率密度达到最大值的位置。图像在 $x=2$ 处达到高度 $0.4$，两侧都从该点向下，因此众数为 $2$。

The maximum value of the probability density occurs at $x=2$. Therefore,

$X>2$ 对应密度图像右侧的区域。将第二段密度积分，写出原函数并代入两个端点，即可求出这部分概率。

Using the second part of the density function,

as required.

右侧密度是一条直线，下面的区域是底为 $6-2$、高为 $0.4$ 的三角形，因此可直接用面积求概率。

The region under the density for $2<X<6$ is a triangle. Hence,

as required.

也可先积分第一段密度求 $P(X\leq2)$，再从总概率 $1$ 中减去它。

as required.

CDF 定义为从负无穷累积到 $x$ 的概率。依密度函数的分段点 $0,2,6$ 分成四段：中间两段分别积分；在支撑集左侧为 $0$，右侧为 $1$。

For $0\leq x\leq2$,

In particular, $F(2)=\frac{16}{80}=0.2$. For $2<x\leq6$,

Therefore, the cumulative distribution function is

分别对两段密度求不定积分，再用 CDF 在支撑区间两端的值确定积分常数。第一段用 $F(0)=0$，第二段用 $F(6)=1$。

For $0\leq x\leq2$,

Since $F(0)=0$, $C_1=0$. Thus $F(x)=x^4/80$ on this interval.

For $2<x\leq6$,

Since $F(6)=1$,

so $C_2=1$. Hence,

At $x=2$, both expressions give $F(2)=1/5$, so the pieces agree. Together with $F(x)=0$ for $x<0$ and $F(x)=1$ for $x>6$, this gives the full CDF above.

条件 $X>2$ 已知其概率为 $0.8$。事件 $2<X<a$ 的概率是 $F(a)-F(2)$，所以把条件概率写成分式，并使用 (d) 中的 $F(2)=0.2$ 求 $F(a)$。

Since $P(X>2)=0.8$ and $F(2)=0.2$,

Therefore,

Hence,

由 (e) 得 $F(a)=0.7$。由于 $F(2)=0.2$、$F(6)=1$，可知 $2<a<6$，因此使用 CDF 的第三段。解平方方程时，$6-a>0$，所以只取正平方根。

Since $2<a<6$, use the third part of the cumulative distribution function:

Thus,

because $6-a>0$. Therefore,

The answer is given to 3 significant figures.

由 $F(a)=0.7$，可知右侧尾概率为 $0.3$。在 $2<a<6$ 内，尾部图形是底为 $6-a$、高为 $(6-a)/10$ 的三角形，用面积建立方程。

From part (e),

Since $F(2)=0.2$, $F(a)=0.7$ and $F(6)=1$, we have $2<a<6$. The triangular tail has base $6-a$ and height $f(a)=(6-a)/10$. Therefore,

As $6-a>0$, we take the positive square root:

The answer is given to 3 significant figures.

尾部小三角形与 $2$ 到 $6$ 下面的整个三角形相似。面积比等于对应边长比的平方；大三角形面积是 (c) 的 $0.8$，小三角形面积是 $1-F(a)=0.3$。

The triangular tail for $a<X<6$ is similar to the triangle for $2<X<6$. Their respective areas are $0.3$ and $0.8$, while their bases are $6-a$ and $6-2=4$.

Hence,

Since $2<a<6$, $6-a>0$. Thus,

to 3 significant figures.