连续随机变量 $X$ 的累积分布函数为

$F(x) = \begin{cases} 0 & x < 4 \\ k(x - 4) & 4 \leqslant x \leqslant 10 \\ 1 & x > 10 \end{cases}$

其中 $k$ 为常数。

(a) 证明 $k = \dfrac{1}{6}$

(b) 写出 $P(X = 5)$ 的值。

(c) 求 $P(5 < X < 7)$。

(d) 写出 $X$ 的概率密度函数，对所有 $x$ 值。

(e) 由此画出 $X$ 的概率密度函数图像。

(f) 写出 $E(X)$ 的值。

(g) 求 $E(2X^2 - 1)$。你必须清楚展示你的方法。

（第 2 题共 12 分）

CDF 在支撑区间右端必须达到 $1$。将 $x=10$ 代入中间一段并令 $F(10)=1$，即可自然推出题目要求的 $k$ 值。

Since $F(10)=1$,

as required.

$X$ 是连续随机变量。连续分布在任何单独一点取得精确值的概率都为零，因此无需代入 CDF 计算。

Since $X$ is a continuous random variable,

连续随机变量的区间概率可由 CDF 之差求得。使用 (a) 的 $k=1/6$，计算 $F(7)-F(5)$。

Using $k=1/6$,

概率密度函数是 CDF 的导数。在区间 $4$ 到 $10$ 上，中间一段的斜率为 $1/6$；支撑区间之外 CDF 为常数，所以密度为零。

Differentiating the cumulative distribution function gives

承接 (d)，密度在 $4\leq x\leq10$ 上恒为 $1/6$，其他位置为零，所以图像是从 $x=4$ 到 $x=10$、高度为 $1/6$ 的水平线段。

Using the probability density function found in part (d), sketch a horizontal line at $f(x)=1/6$ from $x=4$ to $x=10$, with $f(x)=0$ elsewhere. Label $4$, $10$ and $1/6$.

由 (d) 可知 $X$ 在 $[4,10]$ 上均匀分布。均匀分布的期望是区间中点，因此直接取两个端点的平均数。

Since $X\sim\operatorname{U}(4,10)$,

先利用均匀分布的方差公式求 $\operatorname{Var}(X)$，再由 $\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ 得到 $E(X^2)$。最后使用期望的线性性质求目标值。

For $X\sim\operatorname{U}(4,10)$,

Using $E(X)=7$,

Therefore,

也可将函数 $2x^2-1$ 直接乘以 (d) 的密度函数并积分。这样不需要先分别求方差和二阶矩。

Using the definition of expectation,

Hence,