七岁儿童国家测试的分数服从正态分布，标准差为 18。 来自 A 镇的 25 名七岁儿童随机样本的平均分为 52.4。

(a) 求 A 镇七岁儿童平均分的 98% 置信区间。

来自 B 镇的 30 名七岁儿童独立随机样本的平均分为 57.8。 当地一家报纸声称，B 镇七岁儿童的平均分高于 A 镇七岁儿童的平均分。

(b) 清楚写出假设，在 5% 显著性水平下检验这家报纸的说法。你应清楚写出工作过程。

七岁儿童国家测试的总体均分为 $\mu$。

单独考虑这两个样本，在 5% 显著性水平下，证据不足以表明 A 镇的平均分小于 $\mu$，也证据不足以表明 B 镇的平均分小于 $\mu$。

(c) 求 $\mu$ 的最大可能值。

总体标准差已知，且分数服从正态分布，因此用标准正态分布构造均值的置信区间。$98\%$ 双侧置信区间的两端各留 $1\%$，所以临界值为 $z_{0.99}=2.3263\ldots$。

For a $98\%$ confidence interval,

The standard error of the sample mean is

Therefore, the confidence interval is

Hence, to 3 significant figures, the $98\%$ confidence interval is

报纸声称 B 镇均分较高，因此进行右尾检验。两个样本相互独立且总体标准差同为 $18$，所以样本均值之差的方差是两个样本均值方差之和。先算标准化检验统计量，再与 $5\%$ 右尾临界值比较。

Let $\mu_A$ and $\mu_B$ be the population mean scores for towns A and B respectively.

Under $H_0$, the standard error of $\bar X_B-\bar X_A$ is

The test statistic is therefore

For a $5\%$ one-tailed test, the critical value is

Since

the result is not significant, so $H_0$ is not rejected. There is insufficient evidence to support the newspaper’s claim that the mean score in town B is greater than the mean score in town A.

官方评分资料也接受用 p-value 作判断。沿用相同的右尾检验统计量 $z=1.1078\ldots$，求其右尾概率；若 p-value 大于显著性水平 $0.05$，便不拒绝原假设。

Using the same hypotheses and test statistic,

The one-tailed p-value is

Since

$H_0$ is not rejected. There is insufficient evidence to support the newspaper’s claim that the mean score in town B is greater than the mean score in town A.

对每个城镇分别检验“该镇总体均分小于全国均分 $\mu$”。题目说两个检验都没有显著结果，因此各自的标准化统计量都不能小于 $5\%$ 左尾临界值 $-1.6449$。这会分别给出 $\mu$ 的上界；要让两项条件同时成立，必须取两个上界中较小的一个。

For each town, consider the lower-tailed test

For the result to be not significant at the $5\%$ level, the test statistic must satisfy

For town A,

For town B,

Both conditions must hold, so the smaller upper bound is the limiting one. Therefore, the largest possible value of $\mu$ is

to 3 significant figures.