一支医学研究团队调查了 30 至 60 岁男性的代谢率 MR。 从该年龄组中随机抽取了 10 名男性。 下表显示了每位男性的 MR、身体质量指数 BMI，以及医学研究团队评估的日常体力活动 DPA 等级。 等级 1 分配给日常体力活动水平最高的男性。

你可以使用 $S_{xy}=15.1608$, $S_{xx}=6.90181$, $S_{yy}=45.304$。

(a) 求 MR 与 BMI 的积差相关系数。

(b) 利用你在 (a) 小题中的结果，在 5% 显著性水平下检验 MR 与 BMI 是否存在正相关证据。 请清楚写出原假设。

(c) 写出完成 (b) 小题检验必须作出的一个假设。

(d) 求 MR 与 DPA 的 Spearman 等级相关系数。

(e) 使用双侧检验和 5% 显著性水平，判断 MR 与 DPA 是否存在相关证据。

题目已经给出 $S_{xy}$、$S_{xx}$ 和 $S_{yy}$，直接代入积差相关系数公式 $r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$。

题目检验 MR 与 BMI 是否存在正相关，因此使用积差相关系数的右尾检验。把 (a) 的 $r$ 与 $n=10$、$5\%$ 单尾临界值比较，并在结论中明确提及 MR、BMI 和正相关。

Let $\rho$ be the population product moment correlation coefficient between MR and BMI.

For $n=10$ at the $5\%$ significance level in a one-tailed test, the critical value is

Since

the observed value lies in the critical region, so $H_0$ is rejected. There is sufficient evidence at the $5\%$ significance level of a positive correlation between MR and BMI for men aged between 30 and 60 years.

对总体积差相关系数进行显著性检验时，需要关于总体分布的正态性假设。可以写成 MR 与 BMI 的联合分布为二元正态，也可以说明两项测量均服从正态分布。

The MR and BMI measurements are assumed to have a bivariate normal distribution.

DPA 已规定数值最高者列为第 1 名，因此把 MR 也按由高到低排列，使两个变量的秩方向一致。逐项求秩差 $d$ 及 $d^2$，再代入 Spearman 秩相关系数公式。

Ranking MR from highest to lowest gives:

Therefore,

With $n=10$,

本题明确要求双尾检验，因此备择假设是不相关系数不等于零。将 (d) 的 $r_s$ 的绝对值与 $n=10$、$5\%$ 双尾临界值 $0.6485$ 比较。

Let $\rho_s$ be the population rank correlation coefficient between MR and DPA.

For $n=10$ at the $5\%$ significance level in a two-tailed test, the critical values are

Since

the observed value does not lie in the critical region, so $H_0$ is not rejected. There is insufficient evidence at the $5\%$ significance level of a correlation between MR and DPA.