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IAL 2022 Jan S3 Q5

A Level / Edexcel / S3

IAL 2022 Jan Paper · Question 5

题目

Problem

Charlie is training for three events: a 1500 m swim, a 40 km bike ride and a 10 km run.

From past experience his times, in minutes, for each of the three events independently have the following distributions.

S∼N(41,5.22) represents the time for the swimS\sim N(41,5.2^2) \text{ represents the time for the swim} B∼N(81,4.22) represents the time for the bike rideB\sim N(81,4.2^2) \text{ represents the time for the bike ride} R∼N(57,6.62) represents the time for the runR\sim N(57,6.6^2) \text{ represents the time for the run}

(a) Find the probability that Charlie’s total time for a randomly selected swim, bike ride and run exceeds 3 hours.

(5)

(b) Find the probability that the time for a randomly selected swim will be at least 20 minutes quicker than the time for a randomly selected run.

(4)

Given that P(S + B + R > t) = 0.95

(c) find the value of t

(3)

A triathlon consists of a 1500 m swim, immediately followed by a 40 km bike ride, immediately followed by a 10 km run. Charlie uses the answer to part (a) to find the probability that, in 6 successive independent triathlons, his time will exceed 3 hours on at least one occasion.

(d) Find the answer Charlie should obtain.

(3)

Jane says that Charlie should not have used the answer to part (a) for the calculation in part (d).

(e) Explain whether or not Jane is correct.

(2)
(Total for Question 5 is 17 marks)
题目中文翻译

Charlie 正在为三个项目训练：1500 米游泳、40 公里自行车和 10 公里跑步。

根据过往经验，这三个项目所需时间（分钟）彼此独立，分别服从如下分布。

S∼N(41,5.22) 表示游泳时间S\sim N(41,5.2^2) \text{ 表示游泳时间} B∼N(81,4.22) 表示骑车时间B\sim N(81,4.2^2) \text{ 表示骑车时间} R∼N(57,6.62) 表示跑步时间R\sim N(57,6.6^2) \text{ 表示跑步时间}

(a) 求 Charlie 随机选择一次游泳、一次骑车和一次跑步的总时间超过 3 小时的概率。

(b) 求随机一次游泳比随机一次跑步至少快 20 分钟的概率。

已知 P(S+B+R>t)=0.95P(S+B+R>t)=0.95。

(c) 求 t 的值。

三项全能赛包括 1500 米游泳、紧接着 40 公里骑车、紧接着 10 公里跑步。 Charlie 用 (a) 小题的答案来求在 6 次连续独立的三项全能赛中，他的总时间至少有一次超过 3 小时的概率。

(d) 求 Charlie 应得到的答案。

Jane 说，Charlie 在 (d) 小题的计算中不应该使用 (a) 小题的答案。

(e) 解释 Jane 是否正确。

解答

(a)

解法一

思路

展开

三个项目的时间相互独立且都服从正态分布，所以总时间仍服从正态分布。均值直接相加，方差相加；把 33 小时换成 180180 分钟后求右尾概率。

答题过程

展开

Let

T=S+B+R.T=S+B+R.

Since the three times are independent,

E(T)= 41+81+57= 179,\begin{align*} E(T)=&\,41+81+57\\ =&\,179, \end{align*}

and

Var⁡(T)= 5.22+4.22+6.62= 88.24.\begin{align*} \operatorname{Var}(T) =&\,5.2^2+4.2^2+6.6^2\\ =&\,88.24. \end{align*}

Therefore,

T∼N(179,88.24).T\sim N(179,88.24).

As 33 hours is 180180 minutes,

P(T>180)= P(Z>180−17988.24)= P(Z>0.10645…)= 0.4576…≈ 0.458.\begin{align*} P(T>180) =&\,P\bigg( Z>\frac{180-179}{\sqrt{88.24}} \bigg)\\ =&\,P(Z>0.10645\ldots)\\ =&\,0.4576\ldots\\ \approx&\,\boxed{0.458}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

“游泳至少快 2020 分钟”等价于 R−S≥20R-S\geq20。建立差 D=R−SD=R-S；独立随机变量相减时均值相减，但方差仍相加，然后求 DD 的右尾概率。

答题过程

展开

Let

D=R−S.D=R-S.

Then

E(D)= 57−41=16,Var⁡(D)= 6.62+5.22=70.6.\begin{align*} E(D)=&\,57-41=16,\\ \operatorname{Var}(D) =&\,6.6^2+5.2^2=70.6. \end{align*}

Hence

D∼N(16,70.6).D\sim N(16,70.6).

Therefore,

P(R−S≥20)= P(Z≥20−1670.6)= P(Z≥0.4759…)= 0.3170…≈ 0.317.\begin{align*} P(R-S\geq20) =&\,P\bigg( Z\geq\frac{20-16}{\sqrt{70.6}} \bigg)\\ =&\,P(Z\geq0.4759\ldots)\\ =&\,0.3170\ldots\\ \approx&\,\boxed{0.317}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

沿用 (a) 的总时间分布。右侧有 95%95\% 的面积，表示 tt 位于均值左侧，对应标准正态分位数为 −1.6449-1.6449；负号不能遗漏。

答题过程

展开

From part (a),

T∼N(179,88.24).T\sim N(179,88.24).

Since P(T>t)=0.95P(T>t)=0.95,

P(Z>t−17988.24)=0.95.P\bigg( Z>\frac{t-179}{\sqrt{88.24}} \bigg)=0.95.

Thus

t−17988.24=−1.6449.\frac{t-179}{\sqrt{88.24}}=-1.6449.

Therefore,

t= 179−1.644988.24= 163.548…≈ 164 minutes.\begin{align*} t =&\,179-1.6449\sqrt{88.24}\\ =&\,163.548\ldots\\ \approx&\,\boxed{164}\text{ minutes}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

按 Charlie 的做法，把每次总时间超过 33 小时看作概率为 (a) 答案的独立伯努利事件。六次中至少一次发生，使用补事件“六次都不发生”计算最简洁。

答题过程

展开

Let XX be the number of triathlons, out of 6, for which Charlie’s time exceeds 33 hours. Using the result from part (a),

X∼B(6,0.4576…).X\sim B(6,0.4576\ldots).

Therefore,

P(X≥1)= 1−P(X=0)= 1−(1−0.4576…)6= 0.9745…≈ 0.975.\begin{align*} P(X\geq1) =&\,1-P(X=0)\\ =&\,1-(1-0.4576\ldots)^6\\ =&\,0.9745\ldots\\ \approx&\,\boxed{0.975}. \end{align*}

(e)

解法一

思路

展开

(a) 把三个项目的时间视为相互独立的随机选择；但真正的三项全能赛是连续进行，前一项目产生的疲劳会影响后一项目，因此同一场比赛内三个时间未必独立。此外，三项时间之和也没有包括转换项目所需的时间。指出其中一个问题并得出 Jane 正确即可。

答题过程

展开

Jane is correct. In a triathlon the three events are performed consecutively, so the times are unlikely to be independent because fatigue from one event may affect the next. Also, the sum in part (a) does not include transition times. Therefore, the probability from part (a) is not necessarily valid for a complete triathlon.