题目

Problem

The random variable X is normally distributed with unknown mean $\mu$ and known variance $\sigma^2$

A random sample of 25 observations of X produced a 95% confidence interval for $\mu$ of $(26.624, 28.976)$

(a) Find the mean of the sample.

(1)

(b) Show that the standard deviation is 3

(3)

The a % confidence interval using the 25 observations has a width of 2.1

(6)

(d) Find the smallest sample size, of observations from X, that would be required to obtain a 95% confidence interval of width at most 1.5

(4)

(Total for Question 3 is 14 marks)

题目中文翻译

随机变量 X 服从均值未知为 $\mu$ 、方差已知为 $\sigma^2$ 的正态分布。

对 X 的 25 个观测值的随机样本给出了 $\mu$ 的 95% 置信区间： $(26.624, 28.976)$

(a) 求样本均值。

(b) 证明标准差为 3。

使用这 25 个观测值得到的 a% 置信区间的宽度为 2.1。

(d) 求为了得到宽度至多为 1.5 的 95% 置信区间，所需的最小样本容量。

解答

(a)

解法一

思路

展开

正态总体均值的双侧置信区间以样本均值 $\bar X$ 为中心，因此样本均值就是两个端点的中点。

答题过程

展开

The sample mean is the midpoint of the confidence interval:

\begin{align*} \bar{x} =&\,\frac{26.624+28.976}{2}\\ =&\,\boxed{27.8}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

$95\%$ 置信区间使用标准正态临界值 $1.96$ 。先由两个端点求出区间宽度，再把它与公式 $2\times1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt n}$ 对应；这样可以自然推出题目要求证明的 $\sigma=3$ 。

答题过程

展开

For a $95\%$ confidence interval with known population variance,

\text{width}=2(1.96)\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Here $n=25$ , so

\begin{align*} 28.976-26.624 =&\,2(1.96)\frac{\sigma}{\sqrt{25}}\\ 2.352 =&\,\frac{3.92\sigma}{5}\\ \sigma =&\,\frac{2.352(5)}{3.92}\\ =&\,3, \end{align*}

as required.

(c)

解法一

思路

展开

设双侧置信区间采用的正临界值为 $z$ 。由给定宽度先求 $z=1.75$ ，再利用标准正态分布的对称性，求中央区域 $P(-1.75<Z<1.75)$ ，这就是置信水平。

答题过程

展开

Let $z$ be the positive critical value for the $a\%$ confidence interval. Using $\sigma=3$ and $n=25$ ,

\begin{align*} 2z\frac{3}{\sqrt{25}}=&\,2.1\\ \frac{6z}{5}=&\,2.1\\ z=&\,1.75. \end{align*}

From the standard normal distribution table,

P(Z<1.75)=0.9599.

Therefore,

\begin{align*} \frac{a}{100} =&\,P(-1.75<Z<1.75)\\ =&\,2P(Z<1.75)-1\\ =&\,2(0.9599)-1\\ =&\,0.9198. \end{align*}

Hence

a=91.98\approx\boxed{92.0}.

(d)

解法一

思路

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本小题继续使用 (b) 得到的 $\sigma=3$ ，并保留 $95\%$ 置信区间的临界值 $1.96$ 。把区间宽度设为不超过 $1.5$ ，解关于 $n$ 的不等式，最后向上取最小整数。

答题过程

展开

For a $95\%$ confidence interval of width at most $1.5$ ,

2(1.96)\frac{3}{\sqrt{n}}\leq 1.5.

Therefore,

\begin{align*} \sqrt{n} \geq&\,\frac{2(1.96)(3)}{1.5}\\ \geq&\,7.84, \end{align*}

n\geq 7.84^2=61.4656.

Since $n$ must be a whole number, the smallest possible sample size is

\boxed{n=62}.

IAL 2022 June S3 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程