题目

Problem

A random sample of two observations X1 and X2 is taken from a population with unknown mean $\mu$ and unknown variance $\sigma^2$

(a) Explain why $\dfrac{X_1-\mu}{\sigma}$ is not a statistic.

(1)

(b) Explain what you understand by an unbiased estimator for $\mu$

(1)

Two estimators for $\mu$ are U1 and U2 where

U_1=3X_1-2X_2 \qquad \text{and} \qquad U_2=\frac{X_1+3X_2}{4}

(3)

The most efficient estimator among a group of unbiased estimators is the one with the smallest variance.

(d) By finding the variance of U1 and the variance of U2 state, giving a reason, the most efficient estimator for $\mu$ from these two estimators.

(4)

(Total for Question 5 is 9 marks)

题目中文翻译

从某总体中抽取两个观测值 $X_1$ 和 $X_2$ 的随机样本，该总体的均值为未知的 $\mu$ ，方差为未知的 $\sigma^2$ 。

(a) 解释为什么 $\dfrac{X_1-\mu}{\sigma}$ 不是统计量。

(b) 解释你对 $\mu$ 的无偏估计量的理解。

$\mu$ 的两个估计量为 U1 和 U2，其中

U_1=3X_1-2X_2 \qquad \text{and} \qquad U_2=\frac{X_1+3X_2}{4}

在一组无偏估计量中，最有效的估计量是方差最小的那个。

(d) 通过求 U1 和 U2 的方差，说明这两个估计量中哪个是 $\mu$ 的最有效估计量，并给出理由。

解答

(a)

解法一

思路

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统计量只能由样本观测值和已知常数构成，不能含有未知的总体参数。这里 $\mu$ 和 $\sigma$ 都是未知参数。

答题过程

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The expression is not a statistic because it contains the unknown population parameters $\mu$ and $\sigma$ .

(b)

解法一

思路

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无偏的含义是估计量在重复抽样下的长期平均值恰好等于被估计的总体参数，而不是某一次样本算出的估计值一定等于该参数。

答题过程

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An estimator $U$ is an unbiased estimator of $\mu$ if

E(U)=\mu.

(c)

解法一

思路

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随机样本中的每个观测值都来自同一个总体，所以 $E(X_1)=E(X_2)=\mu$ 。分别利用期望的线性性质计算两个估计量的期望，检查结果是否等于 $\mu$ 。

答题过程

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Since $X_1$ and $X_2$ are observations from the same population,

E(X_1)=E(X_2)=\mu.

For $U_1$ ,

\begin{align*} E(U_1) =&\,E(3X_1-2X_2)\\ =&\,3E(X_1)-2E(X_2)\\ =&\,3\mu-2\mu\\ =&\,\mu. \end{align*}

For $U_2$ ,

\begin{align*} E(U_2) =&\,E\bigg(\frac{X_1+3X_2}{4}\bigg)\\ =&\,\frac14\big(E(X_1)+3E(X_2)\big)\\ =&\,\frac14(\mu+3\mu)\\ =&\,\mu. \end{align*}

Therefore, both $U_1$ and $U_2$ are unbiased estimators of $\mu$ .

(d)

解法一

思路

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因为 $X_1,X_2$ 是随机样本中的不同观测值，所以彼此独立，线性组合的方差中没有协方差项。计算两者方差后，选择方差较小的无偏估计量。

答题过程

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Since $X_1$ and $X_2$ are independent and each has variance $\sigma^2$ ,

\begin{align*} \operatorname{Var}(U_1) =&\,\operatorname{Var}(3X_1-2X_2)\\ =&\,9\operatorname{Var}(X_1) +4\operatorname{Var}(X_2)\\ =&\,9\sigma^2+4\sigma^2\\ =&\,13\sigma^2. \end{align*}

Also,

\begin{align*} \operatorname{Var}(U_2) =&\,\operatorname{Var}\bigg( \frac{X_1+3X_2}{4}\bigg)\\ =&\,\frac{1}{16}\big( \operatorname{Var}(X_1) +9\operatorname{Var}(X_2)\big)\\ =&\,\frac{1}{16} \big(\sigma^2+9\sigma^2\big)\\ =&\,\frac58\sigma^2. \end{align*}

Since

\frac58\sigma^2<13\sigma^2,

$U_2$ has the smaller variance. Hence the more efficient estimator is

\boxed{U_2=\frac{X_1+3X_2}{4}}.

IAL 2022 June S3 Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程