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IAL 2023 Jan S3 Q6

A Level / Edexcel / S3

IAL 2023 Jan Paper · Question 6

题目

Problem

A garden centre sells bags of stones and large bags of gravel. The weight, X kilograms, of stones in a bag can be modelled by a normal distribution with unknown mean μ\mu and known standard deviation 0.4 The stones in each of a random sample of 36 bags from a large batch is weighed. The total weight of stones in these 36 bags is found to be 806.4 kg

(a) Find a 98% confidence interval for the mean weight of stones in the batch.

(4)

(b) Explain why the use of the Central Limit theorem is not required to answer part (a)

(1)

The manufacturer of these bags of stones claims that bags in this batch have a mean weight of 22.5 kg

(c) Using your answer to part (a), comment on the claim made by the manufacturer.

(2)

The weight, Y kilograms, of gravel in a large bag can be modelled by a normal distribution with mean 850 kg and standard deviation 5 kg A builder purchases 10 large bags of gravel.

(d) Find the probability that the mean weight of gravel in the 10 large bags is less than 848 kg

(3)
(Total for Question 6 is 10 marks)
题目中文翻译

一家园艺中心出售装石子的袋子和装大颗粒砾石的袋子。 袋中石子的重量 XX 千克可由一个正态分布建模，其均值未知为 μ\mu，已知标准差为 0.4。 从一大批货物中随机抽取 36 袋并称重。 这 36 袋石子的总重量为 806.4 千克。

(a) 求这批石子平均重量的 98% 置信区间。

(b) 解释为什么解答 (a) 小题时不需要使用中心极限定理。

制造商声称，这批袋子中的平均重量为 22.5 千克。

(c) 利用 (a) 小题的答案，对制造商的说法作出评论。

一袋大颗粒砾石的重量 YY 千克可由正态分布建模，其均值为 850 千克，标准差为 5 千克。 一位建筑工人购买了 10 袋大颗粒砾石。

(d) 求这 10 袋砾石平均重量小于 848 千克的概率。

解答

(a)

解法一

思路

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先由 36 袋的总重量求样本均值。总体标准差已知为 0.4 kg，且总体服从正态分布，因此用标准正态临界值 z0.99=2.3263z_{0.99}=2.3263 构造双侧 98%98\% 置信区间。

答题过程

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The sample mean is

x‾=806.436=22.4.\overline x=\frac{806.4}{36}=22.4.

Since the population standard deviation is known, the 98%98\% confidence interval is

I= x‾±z0.99σn= 22.4±2.3263(0.436)= 22.4±0.15509….\begin{align*} I =&\,\overline x \pm z_{0.99}\frac{\sigma}{\sqrt n}\\ =&\,22.4 \pm2.3263\left(\frac{0.4}{\sqrt{36}}\right)\\ =&\,22.4\pm0.15509\ldots. \end{align*}

Therefore, the confidence interval is

(22.2449…, 22.5551…),(22.2449\ldots,\ 22.5551\ldots),

or, suitably rounded,

(22.2, 22.6) kg.\boxed{(22.2,\ 22.6)\text{ kg}}.

(b)

解法一

思路

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题目已明确原始总体服从正态分布，所以无论样本量大小，样本均值都服从正态分布；不需要依靠中央极限定理取得近似正态性。

答题过程

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The central limit theorem is not required because the original population of bag weights is normally distributed, so the sample mean is normally distributed.

(c)

解法一

思路

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检查制造商声称的总体均值 22.5 kg 是否位于 (a) 的 98%98\% 置信区间内。若位于区间内，样本结果便没有提供理由怀疑该说法。

答题过程

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The claimed mean, 22.522.5 kg, lies within the 98%98\% confidence interval

22.2449…<22.5<22.5551….22.2449\ldots<22.5<22.5551\ldots.

Therefore, there is no reason to doubt the manufacturer’s claim.

(d)

解法一

思路

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直接建立 10 袋平均重量 Y‾\overline Y 的分布。独立正态样本的均值仍服从正态分布，均值保持 850，标准差缩小为 5/105/\sqrt{10}，然后将 848 标准化。

答题过程

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The distribution of the sample mean is

Y‾∼N(850,(510)2).\overline Y\sim \mathrm N\left( 850,\left(\frac5{\sqrt{10}}\right)^2 \right).

Therefore,

P⁡(Y‾<848)= P⁡(Z<848−8505/10)= P⁡(Z<−1.2649…)= 0.103.\begin{align*} \operatorname P(\overline Y<848) =&\,\operatorname P\left( Z<\frac{848-850}{5/\sqrt{10}} \right)\\ =&\,\operatorname P(Z<-1.2649\ldots)\\ =&\,\boxed{0.103}. \end{align*}

解法二

思路

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官方评分资料也接受先建立 10 袋总重量 TT 的分布。平均重量小于 848 kg 等价于总重量小于 84808480 kg，之后对总重量标准化。

答题过程

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Let

T=Y1+Y2+⋯+Y10.T=Y_1+Y_2+\cdots+Y_{10}.

Then

E⁡(T)= 10(850)=8500,Var⁡(T)= 10(52)=250.\begin{align*} \operatorname E(T) =&\,10(850)=8500,\\ \operatorname{Var}(T) =&\,10(5^2)=250. \end{align*}

Hence

T∼N(8500,250).T\sim\mathrm N(8500,250).

Also,

Y‾<848⟺T<8480.\overline Y<848 \quad\Longleftrightarrow\quad T<8480.

Therefore,

P⁡(Y‾<848)= P⁡(T<8480)= P⁡(Z<8480−8500250)= P⁡(Z<−1.2649…)= 0.103.\begin{align*} \operatorname P(\overline Y<848) =&\,\operatorname P(T<8480)\\ =&\,\operatorname P\left( Z<\frac{8480-8500}{\sqrt{250}} \right)\\ =&\,\operatorname P(Z<-1.2649\ldots)\\ =&\,\boxed{0.103}. \end{align*}