从某总体中抽取 2 个观测值 $X_1$ 和 $X_2$ 的随机样本，该总体的均值为未知的 $\mu$，方差为未知的 $\sigma^2$。

(a) 解释为什么 $\dfrac{X_1-X_2}{\sigma}$ 不是统计量。

(b) 证明 $S$ 是 $\mu$ 的有偏估计量。

(c) 因此求当 $S$ 用作 $\mu$ 的估计量时的偏差，用 $\mu$ 表示。

已知 $Y=aX_1+bX_2$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，其中 $a$ 和 $b$ 为常数，

(d) 求 $a$ 和 $b$ 必须满足的一个方程。

(e) 利用 (d) 小题的结果，证明 $\mathrm{Var}(Y)=(2a^2-2a+1)\sigma^2$。

统计量只能由样本观测值和已知常数构成，不能含有未知的总体参数。这里分母 $\sigma$ 是未知总体标准差。

The expression $\dfrac{X_1-X_2}{\sigma}$ is not a statistic because it contains $\sigma$, which is an unknown population parameter.

估计量无偏的条件是其期望等于被估计参数。利用期望的线性性质和 $\operatorname E(X_1)=\operatorname E(X_2)=\mu$，计算 $\operatorname E(S)$ 并与 $\mu$ 比较。

Since $X_1$ and $X_2$ are observations from the population,

Therefore,

Since

$S$ is a biased estimator of $\mu$, as required.

估计量的偏差定义为“估计量的期望减去目标参数”。直接承接 (b) 中得到的 $\operatorname E(S)$。

Using the result from part (b), the bias is

$Y$ 无偏意味着 $\operatorname E(Y)=\mu$。对 $Y=aX_1+bX_2$ 取期望后，即可得到 $a$ 与 $b$ 必须满足的关系。

Since $Y$ is an unbiased estimator of $\mu$,

Therefore,

由于 $X_1$、$X_2$ 来自随机样本，它们相互独立，线性组合的方差可按系数平方相加。再由 (d) 得到 $b=1-a$，代入并展开即可推出题目要求的形式。

Since $X_1$ and $X_2$ are independent,

From part (d), $b=1-a$. Hence

as required.