某总体的均值为未知的 $\mu$，方差为未知的 $\sigma^2$。

从该总体中抽取一个随机样本 $X_1,X_2,\ldots,X_{20}$。

(a) 说明为什么 $\frac12X_1+\frac34X_{20}$ 是一个统计量。

(b) 证明 $R=\frac12X_1+\frac34X_{20}$ 是 $\mu$ 的有偏估计量。

(c) 因而求 $R$ 作为 $\mu$ 的估计量时的偏差，用 $\mu$ 表示。

已知 $S=\dfrac{aX_1-bX_2}{2}$ 和 $T=\dfrac{\sum_{i=1}^{14}aX_i+\sum_{i=15}^{20}bX_i}{20}$ 都可作为 $\mu$ 的无偏估计量，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。

(d) 求 $a$ 和 $b$ 的值。

统计量必须完全由样本观测值构成，不能含有未知总体参数。这里的表达式只使用样本中的 $X_1$ 与 $X_{20}$ 以及已知常数。

The expression is calculated solely from the sample observations $X_1$ and $X_{20}$ and contains no unknown population parameters. It is therefore a statistic.

估计量无偏的条件是其期望等于被估计参数。由于随机样本中每个 $X_i$ 的期望都是 $\mu$，直接利用期望的线性性质计算 $E(R)$。

Since $E(X_1)=E(X_{20})=\mu$,

Since $E(R)\neq\mu$, $R$ is a biased estimator of $\mu$.

承接 (b)，估计量的偏差定义为 $E(R)-\mu$，因此把刚求出的 $E(R)=5\mu/4$ 代入即可。

Using the result from part (b),

分别令 $E(S)=\mu$ 和 $E(T)=\mu$，便得到两个只含 $a,b$ 的一次方程。联立求解即可确定两个常数。

Since $S$ is an unbiased estimator of $\mu$,

Therefore,

Similarly, since $T$ is unbiased,

Thus

From (1), $b=a-2$. Substituting into (2),

Hence

Therefore,