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S3 2025 Jun Q7

A Level / Edexcel / S3

IAL 2025 jun Paper · Question 7

题目

Problem

7.

The random variable XX is such that X∼N⁡(μ,σ2)X\sim\operatorname{N}(\mu,\sigma^2).

The mean of a random sample of nn observations of XX is denoted by X‾n\overline X_n.

Given that P(X‾n<45.2)=0.3446P(\overline X_n<45.2)=0.3446 and P(X‾n>75.2)=0.0179P(\overline X_n>75.2)=0.0179,

and using the statistical tables provided,

(a) show that σ=12n\sigma=12\sqrt n

(6)

(b) Hence, find the value of μ\mu.

(2)

(c) Find P(X‾n>59)P(\overline X_n>59).

(3)
(Total for Question 7 is 11 marks)
题目中文翻译

随机变量 XX 服从正态分布 X∼N⁡(μ,σ2)X\sim\operatorname{N}(\mu,\sigma^2)。

XX 的 nn 个观测值的样本均值记作 X‾n\overline X_n。

已知 P(X‾n<45.2)=0.3446P(\overline X_n<45.2)=0.3446 和 P(X‾n>75.2)=0.0179P(\overline X_n>75.2)=0.0179。

请使用所给统计表回答下列问题。

(a) 证明 σ=12n\sigma=12\sqrt n。

(6)

(b) 因而求 μ\mu 的值。

(2)

(c) 求 P(X‾n>59)P(\overline X_n>59)。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

样本均值的标准误为 σ/n\sigma/\sqrt n。利用题目指定的统计表，把两个尾概率分别对应到 z=−0.40z=-0.40 与 z=2.10z=2.10，得到两个关于 μ\mu 和 σ/n\sigma/\sqrt n 的方程；消去 μ\mu 后自然推出题目要求的结果。

答题过程

展开

The sampling distribution of the sample mean is

X‾n∼N⁡(μ,σ2n).\overline X_n\sim \operatorname{N}\big(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\big).

From the statistical tables,

P(Z<−0.40)=0.3446.P(Z<-0.40)=0.3446.

Therefore,

45.2−μσ/n= −0.40,45.2−μ= −0.4σn,μ= 45.2+0.4σn.\begin{align*} \frac{45.2-\mu}{\sigma/\sqrt n}=&\,-0.40,\\ 45.2-\mu=&\,-\frac{0.4\sigma}{\sqrt n},\\ \mu=&\,45.2+\frac{0.4\sigma}{\sqrt n}. \end{align*}

Also,

P(X‾n>75.2)=0.0179P(\overline X_n>75.2)=0.0179

gives P(Z<2.10)=0.9821P(Z<2.10)=0.9821. Hence

75.2−μσ/n= 2.10,75.2−μ= 2.1σn,μ= 75.2−2.1σn.\begin{align*} \frac{75.2-\mu}{\sigma/\sqrt n}=&\,2.10,\\ 75.2-\mu=&\,\frac{2.1\sigma}{\sqrt n},\\ \mu=&\,75.2-\frac{2.1\sigma}{\sqrt n}. \end{align*}

Equating the two expressions for μ\mu gives

45.2+0.4σn= 75.2−2.1σn,2.5σn= 30,σn= 12.\begin{align*} 45.2+\frac{0.4\sigma}{\sqrt n} =&\,75.2-\frac{2.1\sigma}{\sqrt n},\\ \frac{2.5\sigma}{\sqrt n}=&\,30,\\ \frac{\sigma}{\sqrt n}=&\,12. \end{align*}

Since n>0n>0,

σ=12n.\boxed{\sigma=12\sqrt n}.

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a)，已有 σ/n=12\sigma/\sqrt n=12。把它代回任一标准化所得的 μ\mu 方程即可。

答题过程

展开

Using σ/n=12\sigma/\sqrt n=12 in the first equation from part (a),

μ= 45.2+0.4(12)= 50.\begin{align*} \mu =&\,45.2+0.4(12)\\ =&\,\boxed{50}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

由 (a)、(b) 可知样本均值的均值为 50、标准误为 12。把 59 标准化后查表，再取右尾概率。

答题过程

展开

Using the results from parts (a) and (b),

X‾n∼N⁡(50,122).\overline X_n\sim\operatorname{N}(50,12^2).

Therefore,

P(X‾n>59)= P(Z>59−5012)= P(Z>0.75)= 1−0.7734= 0.2266.\begin{align*} P(\overline X_n>59) =&\,P\big(Z>\frac{59-50}{12}\big)\\ =&\,P(Z>0.75)\\ =&\,1-0.7734\\ =&\,\boxed{0.2266}. \end{align*}