题目

Problem

The weights, S kg, of bags of sand are such that S ~ N(18, 0.03^2).

Three bags of sand are selected at random.

(a) Using standardisation, calculate the probability that their total weight is more than 54.1 kg.

(4)

The weights, C kg, of bags of cement are such that C ~ N(25, 0.03^2).

Two bags of cement are selected at random.

(b) Using standardisation, calculate the probability that their weights differ by more than 0.02 kg.

(5)

The weights, P kg, of pallets are such that P ~ N(15, 0.2^2).

The random variable T represents the total weight, in kg, of 28 bags of sand with 5 bags of cement and a single pallet of weight P1.

(6)

(Total for Question 8 is 15 marks)

题目中文翻译

沙袋的重量 S kg 满足 S ~ N(18, 0.03^2)。

随机选取 3 个沙袋。

(a) 用标准化方法求它们总重量大于 54.1 kg 的概率。

水泥袋的重量 C kg 满足 C ~ N(25, 0.03^2)。

随机选取 2 个水泥袋。

(b) 用标准化方法求它们重量相差超过 0.02 kg 的概率。

托盘的重量 P kg 满足 P ~ N(15, 0.2^2)。

随机变量 T 表示 28 个沙袋、5 个水泥袋和 1 个重量为 P1 的托盘的总重量，单位为 kg。

解答

(a)

解法一

思路

展开

三个随机沙袋重量相互独立，其总重量仍服从正态分布。总均值是三个均值之和，总方差是三个方差之和；确定新分布后把 54.1 标准化。

答题过程

展开

Let

X=S_1+S_2+S_3.

Since the bag weights are independent,

\begin{align*} E(X)=&\,3(18)=54,\\ \operatorname{Var}(X) =&\,3(0.03^2)\\ =&\,0.0027. \end{align*}

Thus

X\sim\operatorname{N}(54,0.0027).

Therefore,

\begin{align*} P(X>54.1) =&\,P\left( Z>\frac{54.1-54}{\sqrt{0.0027}} \right)\\ =&\,P(Z>1.9245\ldots)\\ =&\,\boxed{0.0271}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

“两袋重量相差超过 0.02”是绝对值事件。令 $Y=C_1-C_2$ ，其均值为 0；正态分布关于 0 对称，因此先算 $P(Y>0.02)$ ，再乘以 2。

答题过程

展开

Let

Y=C_1-C_2.

Since $C_1$ and $C_2$ are independent,

\begin{align*} E(Y)=&\,25-25=0,\\ \operatorname{Var}(Y) =&\,0.03^2+(-1)^2(0.03^2)\\ =&\,0.0018. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} P(Y>0.02) =&\,P\left( Z>\frac{0.02}{\sqrt{0.0018}} \right)\\ =&\,P(Z>0.4714\ldots)\\ =&\,0.3187\ldots. \end{align*}

By symmetry,

\begin{align*} P(|C_1-C_2|>0.02) =&\,2P(Y>0.02)\\ =&\,2(0.3187\ldots)\\ =&\,\boxed{0.637}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

先把含 $P_1$ 的项移到同一边。由于 $T$ 本身已经含一个 $P_1$ ，所以 $T-30P_1$ 中托盘项的系数是 $-29$ ，不是 $-30$ 。随后求这个线性组合的均值、方差并标准化。

答题过程

展开

Write

T=P_1+\sum_{i=1}^{5}C_i+\sum_{i=1}^{28}S_i.

The required event is

T-30P_1<190.

Let

\begin{align*} R =&\,T-30P_1\\ =&\,\sum_{i=1}^{5}C_i +\sum_{i=1}^{28}S_i-29P_1. \end{align*}

Using independence,

\begin{align*} E(R) =&\,5(25)+28(18)-29(15)\\ =&\,194, \end{align*}

and

\begin{align*} \operatorname{Var}(R) =&\,5(0.03^2)+28(0.03^2)\\ &\qquad{}+(-29)^2(0.2^2)\\ =&\,33.6697. \end{align*}

Hence

R\sim\operatorname{N}(194,33.6697).

Therefore,

\begin{align*} P(T<30P_1+190) =&\,P(R<190)\\ =&\,P\left( Z<\frac{190-194}{\sqrt{33.6697}} \right)\\ =&\,P(Z<-0.6893\ldots)\\ =&\,\boxed{0.245}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

IAL 2025 Jun S3 Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程