题目

Problem

The random variable $X$ follows a continuous uniform distribution over the interval $[\alpha - 3, 2\alpha + 3]$ where $\alpha$ is a constant.

The mean of a random sample of size $n$ is denoted by $\overline{X}$ .

(a) Show that $\overline{X}$ is a biased estimator of $\alpha$ , and state the bias.

(3)

Given that $Y = k\overline{X}$ is an unbiased estimator for $\alpha$

(b) find the value of $k$ .

(1)

A random sample of 10 values of $X$ is taken and the results are as follows

$3 \quad 5 \quad 8 \quad 12 \quad 4 \quad 13 \quad 10 \quad 8 \quad 5 \quad 12$

(3)

(Total for Question 2 is 7 marks)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 服从区间 $[\alpha-3,2\alpha+3]$ 上的连续均匀分布，其中 $\alpha$ 为常数。

从该分布中抽取一个大小为 $n$ 的随机样本，其样本均值记作 $\overline{X}$ 。

(a) 证明 $\overline{X}$ 是 $\alpha$ 的有偏估计量，并写出其偏差。

已知 $Y=k\overline{X}$ 是 $\alpha$ 的无偏估计量。

(b) 求 $k$ 的值。

从 $X$ 中随机抽取 10 个值，结果如下：

3 5 8 12 4 13 10 8 5 12

解答

(a)

解法一

思路

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连续均匀分布的期望等于区间两端点的平均值，而样本均值的期望等于总体期望。将 $E(\overline{X})$ 与待估参数 $\alpha$ 比较，再按“估计量的期望减去参数”计算偏差。

答题过程

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For a continuous uniform distribution over $[\alpha-3,2\alpha+3]$ ,

\begin{align*} E(X)=&\,\frac{(\alpha-3)+(2\alpha+3)}{2}\\ =&\,\frac{3\alpha}{2}. \end{align*}

Therefore,

E(\overline{X})=E(X)=\frac{3\alpha}{2}.

Since this is not identically equal to $\alpha$ , $\overline{X}$ is a biased estimator of $\alpha$ . Its bias is

\begin{align*} \operatorname{Bias}(\overline{X}) =&\,E(\overline{X})-\alpha\\ =&\,\frac{3\alpha}{2}-\alpha\\ =&\,\boxed{\frac{\alpha}{2}}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

无偏要求 $E(Y)=\alpha$ 。利用期望的线性性质，把 $E(k\overline{X})$ 写成 $kE(\overline{X})$ ，即可求出修正系数 $k$ 。

答题过程

展开

Since $Y=k\overline{X}$ is unbiased for $\alpha$ ,

\begin{align*} E(Y)=&\,\alpha\\ kE(\overline{X})=&\,\alpha\\ k\left(\frac{3\alpha}{2}\right)=&\,\alpha\\ k=&\,\boxed{\frac{2}{3}}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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先由样本数据算出 $\overline{x}=8$ 。承接 (b)，用无偏估计量 $Y=\frac23\overline{X}$ 估计 $\alpha$ ，再代入区间上端点 $2\alpha+3$ ，这就是所求的最大值估计。

答题过程

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The sample mean is

\begin{align*} \overline{x} =&\,\frac{3+5+8+12+4+13+10+8+5+12}{10}\\ =&\,\frac{80}{10}\\ =&\,8. \end{align*}

Hence, using the unbiased estimator found in part (b),

\begin{align*} \widehat{\alpha} =&\,\frac{2}{3}\overline{x}\\ =&\,\frac{2}{3}(8)\\ =&\,\frac{16}{3}. \end{align*}

The maximum value of $X$ is the upper endpoint $2\alpha+3$ . Therefore, its estimate is

\begin{align*} 2\widehat{\alpha}+3 =&\,2\left(\frac{16}{3}\right)+3\\ =&\,\frac{41}{3}\\ =&\,\boxed{13\frac{2}{3}}. \end{align*}

IAL 2026 Jan S3 A Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程