题目

Problem

At a dog show, 5 Great Dane dogs were ranked by two judges, judge X and judge Y.

Spearman’s rank correlation coefficient between the judges’ ranks is calculated and a test for positive correlation is carried out at the 5% significance level.

(a) State suitable hypotheses for the test.

(1)

Given that the result of the hypothesis test was to reject H0,

(b) show that the largest possible value of $\sum d^2$ is 2.

(3)

The table below gives the rank order for judge X.

Dog	A	B	C	D	E
Judge X	1	2	3	4	5

Given that $\sum d^2$ takes its largest possible value,

(2)

(Total for Question 2 is 6 marks)

题目中文翻译

在一场狗展中，5 只大丹犬由两位评委 X 和 Y 进行排名。

已计算出两位评委排名的 Spearman 秩相关系数，并在 5% 的显著性水平下进行正相关检验。

(a) 写出适合该检验的假设。

已知该假设检验的结果是拒绝 $H_0$ 。

(b) 证明 $\sum d^2$ 的最大可能值为 2。

下表给出了评委 X 的排名顺序。

狗	A	B	C	D	E
评委 X	1	2	3	4	5

已知 $\sum d^2$ 取到最大可能值，

解答

(a)

解法一

思路

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题目检验的是“正相关”，因此使用单尾假设：原假设表示总体没有等级相关，备择假设表示总体 Spearman 等级相关系数为正。

答题过程

展开

Let $\rho_s$ be the population Spearman rank correlation coefficient. Then

H_0:\rho_s=0, \qquad H_1:\rho_s>0.

(b)

解法一

思路

展开

对 $n=5$ 的 $5\%$ 单尾正相关检验，拒绝域为 $r_s\geq0.9$ 。把 Spearman 公式代入这个不等式，直接限制 $\sum d^2$ ；由于拒绝原假设时允许取临界值本身，最大值恰为 2。

答题过程

展开

For $n=5$ , the critical value for a one-tailed test at the $5\%$ significance level is $0.9$ . Since $H_0$ is rejected,

r_s\geq0.9.

Using Spearman’s rank correlation formula,

\begin{align*} 1-\frac{6\sum d^2}{5(5^2-1)} \geq&\,0.9\\ 1-\frac{\sum d^2}{20} \geq&\,0.9\\ \frac{\sum d^2}{20} \leq&\,0.1\\ \sum d^2 \leq&\,2. \end{align*}

For example, rank differences $0,0,0,-1,1$ give

\sum d^2=0^2+0^2+0^2+(-1)^2+1^2=2.

Thus 2 is attainable, so the largest possible value is

\boxed{\sum d^2=2}.

(c)

解法一

思路

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要使 $\sum d^2=2$ ，可以只交换 X 评委排名中的一对相邻犬只。这样两只犬的排名差分别为 $1$ 与 $-1$ ，其余三只的排名差为 0，平方和正好是 2。

答题过程

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One possible set of ranks for judge Y is

Dog	A	B	C	D	E
Judge X	1	2	3	4	5
Judge Y	1	2	3	5	4
$d=X-Y$	0	0	0	$-1$	1

Then

\sum d^2=0^2+0^2+0^2+(-1)^2+1^2=2.

Therefore, a possible order for judge Y is

\boxed{A,\ B,\ C,\ E,\ D}.

IAL 2026 Jan S3 Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程