题目

Problem

The random variable $H\sim N(\mu,6^2)$ .

The mean of a random sample of $n$ observations of $H$ is denoted by $\overline H$ .

Given that $P(\overline H<55.08)=0.1151$ and $P(\overline H>56.976)=0.0250$ using the tables provided

(a) show that $n=100$

(6)

(b) hence find the value of $\mu$

(2)

(Total for Question 6 is 8 marks)

题目中文翻译

随机变量 $H\sim N(\mu,6^2)$ 。

$H$ 的 $n$ 个观测值的样本均值记为 $\overline H$ 。

已知使用统计表得到 $P(\overline H<55.08)=0.1151$ 和 $P(\overline H>56.976)=0.0250$ 。

(a) 证明 $n=100$ 。

(6)

(b) 因而求 $\mu$ 的值。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

样本均值的标准差为 $6/\sqrt n$ 。先把两个概率分别标准化，利用统计表把它们对应到 $z=-1.20$ 与 $z=1.96$ ，由此得到两个关于 $\mu$ 和 $\sqrt n$ 的方程。消去 $\mu$ 后即可证明 $n=100$ 。

答题过程

展开

The sampling distribution of the sample mean is

\overline H\sim \operatorname{N}\big(\mu,\frac{6^2}{n}\big).

From the normal tables,

P(Z<-1.20)=0.1151.

Therefore,

\begin{align*} \frac{55.08-\mu}{6/\sqrt n}=&\,-1.20,\\ 55.08-\mu=&\,-\frac{7.2}{\sqrt n},\\ \mu=&\,55.08+\frac{7.2}{\sqrt n}. \end{align*}

Also,

P(\overline H>56.976)=0.0250

corresponds to $P(Z<1.96)=0.9750$ . Hence

\begin{align*} \frac{56.976-\mu}{6/\sqrt n}=&\,1.96,\\ 56.976-\mu=&\,\frac{11.76}{\sqrt n},\\ \mu=&\,56.976-\frac{11.76}{\sqrt n}. \end{align*}

Equating the two expressions for $\mu$ gives

\begin{align*} 55.08+\frac{7.2}{\sqrt n} =&\,56.976-\frac{11.76}{\sqrt n},\\ \frac{18.96}{\sqrt n}=&\,1.896,\\ \sqrt n=&\,10. \end{align*}

Since $n>0$ ,

\boxed{n=100}.

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a) 的结果，取 $\sqrt n=10$ ，代回任一标准化所得的方程便可求出 $\mu$ 。

答题过程

展开

Using $\sqrt n=10$ in the first equation from part (a),

\begin{align*} \mu =&\,55.08+\frac{7.2}{10}\\ =&\,\boxed{55.8}. \end{align*}

S3 2026 Jan Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程