CalcGospel 國際數學圖譜
返回

IAL 2026 Jan S3 Q8

A Level / Edexcel / S3

IAL 2026 Jan Paper · Question 8

题目

Problem

A market stall sells cauliflowers classified by three different weights, small (S), medium (M) and large (L).

The weights, in grams, of these cauliflowers are modelled by independent normal distributions as shown below.

S ~ N(265, 78^2) M ~ N(625, 42^2) L ~ N(886, 45^2)

The random variable T represents the total weight of 2 randomly selected medium cauliflowers minus the weight of 1 randomly selected large cauliflower. T ~ N(a, b)

(a) Find the value of a and the value of b.

(3)

(b) Using standardisation, find the probability that a randomly selected large cauliflower weighs more than 3 times the weight of a randomly selected small cauliflower.

(5)

A random sample of 2 small cauliflowers is taken.

(c) Using standardisation, find the probability that the first cauliflower in this sample weighs at least 100 grams more than the mean weight of both cauliflowers.

(5)
(Total for Question 8 is 13 marks)
题目中文翻译

某市场摊位出售三种重量等级的花椰菜：小 (S)、中 (M) 和大 (L)。

这些花椰菜的重量（单位：克）分别由相互独立的正态分布建模，如下所示。

S ~ N(265, 78^2)，M ~ N(625, 42^2)，L ~ N(886, 45^2)

随机变量 T 表示 2 个随机选取的中等花椰菜的总重量减去 1 个随机选取的大花椰菜的重量。T ~ N(a, b)。

(a) 求 a 和 b 的值。

(b) 使用标准化方法，求随机选取的一个大花椰菜重量大于随机选取的一个小花椰菜重量 3 倍的概率。

现在抽取 2 个小花椰菜的随机样本。

(c) 使用标准化方法，求样本中第一个花椰菜至少比两者平均重量重 100 克的概率。

解答

(a)

解法一

思路

展开

把两个中等花椰菜的重量记为 M1,M2M_1,M_2，大花椰菜重量记为 LL，则 T=M1+M2−LT=M_1+M_2-L。独立正态变量的线性组合仍为正态分布；均值按系数相加，而方差按系数平方相加。

答题过程

展开

Let

T=M1+M2−L,T=M_1+M_2-L,

where M1M_1, M2M_2 and LL are independent. Therefore,

a=E(T)= 625+625−886= 364,\begin{align*} a=E(T) =&\,625+625-886\\ =&\,\boxed{364}, \end{align*}

and

b=Var⁡(T)= 422+422+(−1)2(452)= 5553.\begin{align*} b=\operatorname{Var}(T) =&\,42^2+42^2+(-1)^2(45^2)\\ =&\,\boxed{5553}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

所求事件为 L>3SL>3S。令 X=L−3SX=L-3S，便把事件化为 X>0X>0；由于 LL 与 SS 独立，可求出这个线性组合的均值与方差，再标准化计算概率。

答题过程

展开

Let

X=L−3S.X=L-3S.

Since LL and SS are independent,

E(X)= 886−3(265)= 91,\begin{align*} E(X) =&\,886-3(265)\\ =&\,91, \end{align*}

and

Var⁡(X)= 452+(−3)2(782)= 56781.\begin{align*} \operatorname{Var}(X) =&\,45^2+(-3)^2(78^2)\\ =&\,56781. \end{align*}

Hence

X∼N⁡(91,56781).X\sim\operatorname{N}(91,56781).

Therefore,

P(L>3S)= P(X>0)= P(Z>0−9156781)= P(Z>−0.3819…)= 0.649(3 s.f.).\begin{align*} P(L>3S) =&\,P(X>0)\\ =&\,P\left( Z>\frac{0-91}{\sqrt{56781}} \right)\\ =&\,P(Z>-0.3819\ldots)\\ =&\,\boxed{0.649}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

设两棵小花椰菜的重量为 S1,S2S_1,S_2。把“第一棵至少比两者平均重量重 100 克”写成不等式并整理，可得到 (S1−S2)/2⩾100(S_1-S_2)/2\geqslant100。直接为这个新变量求正态分布即可。

答题过程

展开

The required event is

S1⩾S1+S22+100.S_1\geqslant\frac{S_1+S_2}{2}+100.

This is equivalent to

S1−S22⩾100.\frac{S_1-S_2}{2}\geqslant100.

Let

Y=S1−S22.Y=\frac{S_1-S_2}{2}.

Since S1S_1 and S2S_2 are independent,

E(Y)= 265−2652= 0,\begin{align*} E(Y) =&\,\frac{265-265}{2}\\ =&\,0, \end{align*}

and

Var⁡(Y)= 782+78222= 3042.\begin{align*} \operatorname{Var}(Y) =&\,\frac{78^2+78^2}{2^2}\\ =&\,3042. \end{align*}

Therefore,

P(Y⩾100)= P(Z⩾1003042)= P(Z⩾1.813…)= 0.0349(3 s.f.).\begin{align*} P(Y\geqslant100) =&\,P\left( Z\geqslant\frac{100}{\sqrt{3042}} \right)\\ =&\,P(Z\geqslant1.813\ldots)\\ =&\,\boxed{0.0349}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以先把原不等式两边乘以 2，直接研究重量差 R=S1−S2R=S_1-S_2。这时事件为 R⩾200R\geqslant200，方差变为 2(782)2(78^2)，标准化后得到同一结果。这是官方评分资料列出的另一条路线。

答题过程

展开

The required event can also be written as

S1−S2⩾200.S_1-S_2\geqslant200.

Let R=S1−S2R=S_1-S_2. Then

E(R)= 265−265=0,Var⁡(R)= 782+782= 12168.\begin{align*} E(R)=&\,265-265=0,\\ \operatorname{Var}(R) =&\,78^2+78^2\\ =&\,12168. \end{align*}

Therefore,

P(R⩾200)= P(Z⩾20012168)= P(Z⩾1.813…)= 0.0349(3 s.f.).\begin{align*} P(R\geqslant200) =&\,P\left( Z\geqslant\frac{200}{\sqrt{12168}} \right)\\ =&\,P(Z\geqslant1.813\ldots)\\ =&\,\boxed{0.0349}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}